Question

ПОМОГИТЕ, УМОЛЯЮ! В треугольнике ABC ни один из углов не является прямым. Отрезки bb1 и cc1 высоты этого треугольника.Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите угол А данного треугольника, если известно что отрезок, ah короче стороны BC равно в 3 раза. ​

Answer 1

Объяснение: (судя по условию-эта задача именно "про это свойство")...

есть красивое свойство ортоцентра:

5 свойство. Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и

длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной

окружности. АН^2 + ВС^2 = 4R^2

AH^2 + (3AH)^2 = 4R^2

10АН^2 = 4R^2

отсюда R^2 = 10*BC^2 / 36

по т.синусов ВС = 2R*sin(A)

sin(A) = BC / (2R) = 3 / V10

можно и косинус найти...

cos(A) = 1 / V10

Answer 2

Пусть точка H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Дано: отрезок AH короче стороны BC в 3 раза.

Поскольку отрезки BB1 и CC1 являются высотами треугольника ABC, точка H является его ортоцентром. Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника.

Так как AH является высотой, то угол BAH и угол CAH являются прямыми углами (90 градусов).

По условию, отрезок AH короче стороны BC в 3 раза. Пусть отрезок AH равен x, а сторона BC равна y.

Тогда можно записать уравнение:

x = 3y

Рассмотрим треугольник ABH:

Угол BAH + угол ABH + угол B = 180 градусов (сумма углов треугольника).

Поскольку угол BAH равен 90 градусов, имеем:

90° + угол ABH + угол B = 180°

угол ABH + угол B = 90°

Теперь рассмотрим треугольник ACH:

Угол CAH + угол ACH + угол C = 180 градусов (сумма углов треугольника).

Поскольку угол CAH равен 90 градусов, имеем:

90° + угол ACH + угол C = 180°

угол ACH + угол C = 90°

Таким образом, угол ABH + угол B = угол ACH + угол C = 90°.

Из этого следует, что угол А треугольника ABC равен углу ABH + углу ACH.

Поскольку угол ABH + угол B = 90° и угол ACH + угол C = 90°, имеем:

угол А = 180° - 90° = 90°.

Таким образом, угол А данного треугольника ABC равен 90 градусов.