Question

ДАНО: ▲АВС, угол С=90 градусов. Е,D,g- точки касания вписанной окружности со сторонами АС,ВС,АВ. EC=8, Bg=24. ДОКАЗАТЬ: ОЕ проходит через точку К- точка пересечения медиан. НАЙТИ: S▲AKO

Answer 1

Разделим задачу на 8.

CD=CE=1, BD=BG=3, AE=AG=x (отрезки касательных из одной точки)

(x+1)^2 +4^2 =(x+3)^2 => x=2

AE=2, AC=3

AE/AC =AK/AM =2/3 (медианы делятся точкой пересечения...)

KE||BC (обратная теорема Фалеса)

OE⊥AC (радиус в точку касания) => OE||BC

O и K лежат на перпендикуляре через E.

KE=2/3 MC =2/3 *2 =4/3

OK= KE-OE =4/3 -1 =1/3  

S(AKO)= 1/2 OK*AE =1/2 *1/3 *2 =1/3 (см^2)

Результат умножаем на 8^2, ответ: 64/3 (см^2)

Answer 2

Для начала, докажем, что точка О лежит на медиане треугольника ▲ABC.

Рассмотрим треугольник ▲ABC. Поскольку CD является высотой, а AD и BD - медианами, то треугольник ▲ADB равнобедренный, и AD = BD. Также, поскольку CE и BG являются радиусами вписанной окружности, то CE = BG.

Теперь рассмотрим треугольник ▲CDO. Он является прямоугольным, так как угол C равен 90 градусов. По теореме Пифагора получаем:

CD^2 = CO^2 + OD^2.

Также, поскольку CD является высотой, то S▲ACD = (1/2) * AC * CD.

Аналогично, рассмотрим треугольник ▲BDO. Он также является прямоугольным. Применяя теорему Пифагора, получаем:

BD^2 = BO^2 + OD^2.

И поскольку BD является медианой, S▲ABD = (1/2) * AB * BD.

Так как AC = AB (так как угол C равен 90 градусов), то S▲ACD = S▲ABD.

Теперь сравним два выражения:

(1/2) * AC * CD = (1/2) * AB * BD.

Поделим оба выражения на (1/2):

AC * CD = AB * BD.

Теперь заметим, что AC * CD равно площади ▲ACD, а AB * BD равно площади ▲ABD.

Таким образом, площадь ▲ACD равна площади ▲ABD.

Это означает, что точка О, которая является центром вписанной окружности, лежит на медиане ▲ABC.

Теперь рассмотрим треугольник ▲AKO. Поскольку точка О лежит на медиане ▲ABC, то отрезок ОЕ является медианой ▲AKO.

Таким образом, точка ОЕ проходит через точку К - точку пересечения медиан треугольника ▲AKO.

Чтобы найти площадь ▲AKO, нам необходимо знать длины его сторон. Однако, в условии даны только длины отрезков EC и Bg, которые не являются сторонами треугольника ▲AKO.

Для нахождения площади ▲AKO требуется дополнительная информация о треугольнике ▲AKO, например, длины сторон АК и КО, или значения других углов. Без этой информации мы не можем точно определить площадь ▲AKO.