Question

Длины двух сторон треугольника равны 2 и 5. докажите, что медиана, проведенная к третьей его стороне, больше 1,5

Answer 1

Рассмотрим Δ ABC ,  пусть BM = m - медиана к стороне AC ,  делящая  его на два отрезка : AM=MC=x .  AB=2 ; BC=5

Запишем неравенства  для Δ ABM  и Δ BMC : ( Cчитаем,  что треугольники невырождены)

2+m>x

x+m>5

Сложим эти неравенства :

2+x+2m>x+5

2+2m>5

2m>3

m>1.5

Таким  образом медиана  к  3 стороне больше  1.5

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, больше 1,5, нам понадобится применить неравенство треугольника. Неравенство треугольника утверждает, что для любого треугольника длина любой из его сторон меньше суммы длин двух других сторон.

Пусть треугольник имеет стороны a, b и c, а медиана проведена к стороне c. Пусть m обозначает длину медианы.

В нашем случае длины сторон треугольника равны 2 и 5, а медиана проведена к третьей стороне (давайте обозначим её с) и её длину обозначим как m.

Таким образом, у нас есть следующие длины сторон треугольника: a = 2 (длина первой стороны) b = 5 (длина второй стороны) c = ? (длина третьей стороны) m = ? (длина медианы)

Для доказательства неравенства, нам нужно сравнить длину медианы m с 1,5:

m > 1,5

Теперь воспользуемся неравенством треугольника:

m < a + c m < b + c

Так как стороны треугольника имеют длины 2 и 5, можем записать:

m < 2 + c m < 5 + c

Сложим эти два неравенства:

m + m < 2 + c + 5 + c 2m < 7 + 2c

Теперь поделим обе стороны на 2:

m < (7 + 2c) / 2

m < 3.5 + c

Теперь, чтобы доказать неравенство m > 1,5, нам нужно убедиться, что m больше, чем 1,5. Поэтому:

m > 1,5

Теперь сравним два неравенства:

1,5 < m < 3,5 + c

Давайте проанализируем правую часть неравенства. Так как длины сторон треугольника равны 2 и 5, третья сторона c должна быть меньше, чем сумма этих двух сторон:

c < a + b c < 2 + 5 c < 7

Теперь подставим это значение в наше неравенство:

1,5 < m < 3,5 + 7

1,5 < m < 10,5

Таким образом, мы доказали, что медиана m имеет значение между 1,5 и 10,5. Но длина медианы не может быть отрицательной, поэтому:

m > 1,5

Таким образом, мы доказали, что медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, больше 1,5.