Question

Геометрия Периметр треугольника ABC равен 6. Обозначим точки касания сторон BC, AC, AB с вписанной окружностью через A1, B1, C1 соответственно. Известно, что CA1/AB+AB1/BC+BC1/AC=6. Найдите 1/AB+1/BC+1/AC.

Answer 1

Ответ:

3. s

Объяснение:

Answer 2

Обозначим длины сторон треугольника ABC следующим образом: AB = a, BC = b, CA = c.

Также обозначим радиус вписанной окружности как r.

Заметим, что длины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания с вписанной окружностью, равны длинам отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания с вписанной окружностью, расположенными на продолжении сторон треугольника. То есть, например, AC1 = AC, AB1 = AB и BC1 = BC.

Теперь рассмотрим отношения CA1/AB, AB1/BC и BC1/AC:

CA1/AB = AC/AB = c/a AB1/BC = AB/BC = a/b BC1/AC = BC/AC = b/c

Согласно условию задачи, сумма этих отношений равна 6:

c/a + a/b + b/c = 6

Теперь мы хотим найти выражение для 1/AB + 1/BC + 1/AC.

1/AB + 1/BC + 1/AC = (BCAC + ABAC + ABBC) / (ABBC*AC)

Теперь воспользуемся формулой для площади треугольника, где r - радиус вписанной окружности, и S - площадь треугольника:

S = r * (AB + BC + CA) / 2

Также у нас есть формула для площади треугольника через радиус вписанной окружности и длины его сторон:

S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]

где p - полупериметр треугольника (p = (AB + BC + CA) / 2).

Теперь мы можем приравнять эти две формулы для площади S:

r * (AB + BC + CA) / 2 = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]

r * (AB + BC + CA) = 2 * √[p(p - a)(p - b)(p - c)]

Теперь выразим r через a, b, c:

r = 2 * √[p(p - a)(p - b)(p - c)] / (AB + BC + CA)

Теперь подставим выражение для r в выражение 1/AB + 1/BC + 1/AC:

1/AB + 1/BC + 1/AC = (BCAC + ABAC + ABBC) / (ABBC*AC)

1/AB + 1/BC + 1/AC = (bc + ac + ab) / (abc)

Теперь воспользуемся формулой для площади треугольника через радиус вписанной окружности и получим:

1/AB + 1/BC + 1/AC = (bc + ac + ab) / (2 * √[p(p - a)(p - b)(p - c)])

Теперь выразим p через a, b, c:

p = (AB + BC + CA) / 2

Теперь, подставив выражение для p, получим:

1/AB + 1/BC + 1/AC = (bc + ac + ab) / (2 * √[((AB + BC + CA) / 2)((AB + BC + CA) / 2 - a)((AB + BC + CA) / 2 - b)((AB + BC + CA) / 2 - c)])

Теперь заметим, что (AB + BC + CA) / 2 = p, поэтому можно упростить:

1/AB + 1/BC + 1/AC = (bc + ac + ab) / (2 * √[p(p - a)(p - b)(p - c)])

Итак, окончательный ответ:

1/AB + 1/BC + 1/AC = (bc + ac + ab) / (2 * √[p(p - a)(p - b)(p - c)])

где p = (AB + BC + CA) / 2, a, b, c - длины сторон треугольника ABC, а bc, ac, ab - это значения выражений CA1/AB, AB1/BC и BC1/AC, которые равны c/a, a/b и b/c соответственно, как мы определили в начале.