Question

Внутри ABC выбирается точка m. через него проводится прямая линия, параллельная стороне AU и пересекающая стороны AB и BC соответственно в точках E, MD= AD и ME= EC. Докажите, что M-точка пересечения бисектрического треугольника.

Answer 1

∠DAM=∠DMA (AD=DM, △ADM - равнобедренный)

∠CAM=∠DMA (накрест лежащие при DE||AC)

∠DAM=∠CAM, AM - биссектриса

Аналогично CM - биссектриса

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

M - точка пересечения биссектрис.

Answer 2

Для доказательства, что точка M является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC, мы должны показать, что M лежит на биссектрисе угла A и на биссектрисе угла C.

Давайте рассмотрим угол A. Пусть AM пересекает сторону BC в точке F. Нам нужно показать, что угол FAM равен половине угла BAC.

Так как MD = AD и ME = EC, то треугольники AMD и MEC равнобедренные треугольники. Из равенства MD = AD следует, что угол MAD равен углу MDA. Аналогично, из равенства ME = EC следует, что угол MEC равен углу MCE.

Теперь рассмотрим угол A. Угол FAM является внешним углом треугольника AMD, поэтому он равен сумме углов MAD и MDA. Из равенства этих углов мы можем сделать вывод, что угол FAM равен 2 углу MAD.

Теперь докажем, что M также лежит на биссектрисе угла C. Пусть AM пересекает сторону AB в точке G. Нам нужно показать, что угол MAG равен половине угла C.

Аналогично, угол MAG является внешним углом треугольника MEC, поэтому он равен сумме углов MEC и MCE. Из равенства этих углов мы можем сделать вывод, что угол MAG равен 2 углу MCE.

Таким образом, мы доказали, что угол FAM равен половине угла BAC, и угол MAG равен половине угла C. Это означает, что точка M лежит как на биссектрисе угла A, так и на биссектрисе угла C. Следовательно, M является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC.