Question

Помогите пожалуйста!!!! 60б ! (Задача третья с олимпиады 8 класса) Пусть АВС прямоугольный треугольник с прямым углом С , СД биссектриса треугольника , ДЕ , ДФ перпендикуляры опущенные из точки Д на стороны АС и ВС соответственно. Докажите, что ад²+бд²=(ае+бф)²

Answer 1

Доказательство на фото

Answer 2

DCE =45 (CD - биссектриса)

△DEC с углами 45, 90 => равнобедренный, DE=EC

EDFC с тремя прямыми углами и равными смежными сторонами - квадрат, DE=DF

Построим B1E=BF

△B1DE=△BDF(по двум катетам) => B1D=BD, B1DE=BDF

ADE+BDF =180-90 =90

ADB1 =ADE+B1DE =ADE+BDF =90

△ADB1, по теореме Пифагора

(AE+B1E)^2 =AD^2 +B1D^2 => (AE+BF)^2 =AD^2 +BD^2

Answer 3

Для доказательства равенства ад² + бд² = (ае + бф)² воспользуемся тем, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону пропорционально длинам смежных сторон.

Обозначим следующие длины сторон: AB = с, AC = а, BC = б.

Также обозначим: AD = ад, BD = бд, DE = ае, DF = бф.

Заметим, что треугольники ADE и BDF подобны треугольнику ABC, так как угол АDE является вертикальным углом для угла В, и угол BDF является вертикальным углом для угла А. Следовательно, отношение длин сторон в этих треугольниках одинаково:

(1) ае / а = ад / с и (2) бф / б = бд / с.

Теперь возведем оба уравнения в квадрат:

(1²) ае² / а² = ад² / с² и (2²) бф² / б² = бд² / с².

Умножим первое уравнение на б² и второе на а²:

б² * ае² / а² = б² * ад² / с² и а² * бф² / б² = а² * бд² / с².

Получим:

б² * ае² = ад² * б² / с² и а² * бф² = бд² * а² / с².

Теперь сложим оба уравнения:

б² * ае² + а² * бф² = ад² * б² / с² + бд² * а² / с².

Общий знаменатель справа:

б² * ае² + а² * бф² = (ад² * б² + бд² * а²) / с².

Теперь переместим всё влево:

б² * ае² + а² * бф² - (ад² * б² + бд² * а²) / с² = 0.

Общий знаменатель для первых двух членов:

(б² * ае² * с² + а² * бф² * с² - ад² * б² - бд² * а²) / с² = 0.

Теперь объединим члены через общий знаменатель:

(б² * ае² * с² + а² * бф² * с² - ад² * б² - бд² * а²) = 0.

Теперь перенесем все члены влево:

б² * ае² * с² + а² * бф² * с² - ад² * б² - бд² * а² = 0.

Избавимся от разности квадратов (а² * б²) путем добавления и вычитания его:

б² * ае² * с² + а² * бф² * с² - ад² * б² - бд² * а² + а² * б² - а² * б² = 0.

Факторизуем:

(б² * ае² * с² + а² * б² * (с² - 1) - ад² * б² - бд² * а²) = 0.

Сгруппируем:

б² * (ае² * с² + а² * (с² - 1) - ад²) + а² * б² - бд² * а² = 0.

Применим теперь (а² + б²) для группировки:

б² * ((ае² - а²) * с² + а² * (с² - 1)) + а² * б² - бд² * а² = 0.

Теперь можно заметить, что выражение в скобках равно нулю, так как (ае² - а²) = (бф² - б²) из-за подобия треугольников, что в итоге равно 0:

б² * 0 + а² * б² - бд² * а² = 0.

Теперь выразим бд²:

бд² = а² * б² / а².

Упростим:

бд² = б².

Теперь вернемся к исходному равенству:

ад² + бд² = (ае + бф)².

Подставим выражение для бд²:

ад² + б² = (ае + бф)².

Осталось заметить, что (ае + бф)² = ае² + 2 * ае * бф + бф², а также у нас есть равенство б² = бд².

Теперь получим:

ад² + б² = ае² + 2 * ае * бф + бф².

Используем (ае + бф)² = ае² + 2 * ае * бф + бф² еще раз:

ад² + б² = (ае + бф)².

Таким образом, мы доказали, что ад² + бд² = (ае + бф)², что и требовалось доказать.