Question

У трикутнику ABC с = 120°, AB = 7√3. Знайдіть радіус колаописаного навколо трикутника ABC.​

Answer 1

........................

Answer 2

Для знаходження радіуса кола, що описується навколо трикутника ABC, ми можемо скористатися законом синусів. Закон синусів в трикутнику виглядає так:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}.$

Де $a$, $b$, $c$ - довжини сторін трикутника, $A$, $B$, $C$ - відповідні кути.

У нашому випадку ми знаємо $c = 120^\circ$, $AB = 7\sqrt{3}$. Оскільки кут $C$ вже вказаний, ми також можемо знайти кути $A$ і $B$ за допомогою суми кутів в трикутнику, яка дорівнює $180^\circ$.

$A + B + C = 180^\circ$

$A + B + 120^\circ = 180^\circ$

$A + B = 60^\circ$

Тепер ми можемо знайти кути $A$ і $B$:

$A = 60^\circ - B$

Тепер, ми можемо записати закон синусів для нашого трикутника:

$\frac{AB}{\sin(C)} = \frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AC}{\sin(B)}.$

Підставимо відомі значення:

$\frac{7\sqrt{3}}{\sin(120^\circ)} = \frac{BC}{\sin(60^\circ - B)}.$

Тепер обчислимо значення синуса 120° та 60°:

$\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2},$

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Таким чином, ми отримаємо:

$\frac{7\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BC}{\sin(60^\circ - B)}.$

Скоротимо $\sqrt{3}$ та помножимо обидві сторони на $\frac{2}{\sqrt{3}}$:

$2 \cdot 7 = \frac{BC}{\sin(60^\circ - B)}.$

$14 = \frac{BC}{\sin(60^\circ - B)}.$

Тепер, щоб знайти $BC$, ми повинні знайти синус $60^\circ - B$. Однак, ми вже знаємо, що $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким чином, можна використовувати співвідношення між синусами кутів:

$\sin(60^\circ - B) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$