Question

у прямокутну трапецію вписано коло радіус якого 10 см обчисліть її середню лінію якщо гострий кут трапеції дорівнює 45°​

Answer 1

Розглянемо рівнобедрений прямокутний трикутник CHD (оскільки гострі кути дорівнюють 45°). Висота CH є діаметром кола вписаного кола в трапецію, значить AB = CH = 2r = 20 см. Тоді CD = 10√2 см.

За властивістю вписаного кола чотирикутника: AB + CD = AD + BC

AD + BC = 20 + 10√2 = 10√2 (√2 + 1) см

За властивістю середньої лінії трапеції

m = (AD + BC) / 2 = 5√2 · (√2 + 1) см.

Answer 2

Для обчислення середньої лінії прямокутної трапеції, нам потрібно знати довжини її основ та висоти. На щастя, ми можемо знайти ці значення за допомогою кола, яке вписане у трапецію.

Спершу, зазначимо, що трапеція є прямокутною. Це означає, що вона має два прямих кути (по 90° кожен) та два гострі кути. Так як один із гострих кутів дорівнює 45°, то інший гострий кут також дорівнює 45°, оскільки сума кутів в трапеції дорівнює 360°.

Тепер звернемось до вписаного кола. Вписане коло має діаметр, який є рівним основі меншого основання трапеції (тобто стороні, що протилежна гострим кутам).

Позначимо бічні сторони трапеції так:

• a - довжина меншої основи (протилежна гострим кутам)
• b - довжина більшої основи (протилежна прямим кутам)
• h - висота трапеції

Оскільки гострий кут трапеції дорівнює 45°, то бічні сторони a і h є рівними, оскільки вони протилежні гострим кутам.

Таким чином, ми маємо a = h. Також, знаючи, що радіус вписаного кола дорівнює 10 см (половина діаметра), ми маємо:

r = 10 см

Для знаходження b (більшої основи) ми можемо скористатися теоремою Піфагора для правильного прямокутного трикутника, утвореного бічними сторонами трапеції та половиною меншої основи:

b² = a² + a² = 2a²

b = √(2a²)

Тепер ми можемо обчислити середню лінію (медіану) трапеції. Медіана в трапеції є середньою арифметичною основ:

медіана = (a + b) / 2

Заміняючи значення a і b, отримаємо:

медіана = (a + √(2a²)) / 2

медіана = (a + a√2) / 2

медіана = a(1 + √2) / 2

Так як a = h, то:

медіана = h(1 + √2) / 2

Але з огляду на те, що a = h, ми можемо просто записати:

медіана = a(1 + √2) / 2

Тепер ми можемо замінити a на r (радіус вписаного кола), оскільки вони рівні:

медіана = 10 см * (1 + √2) / 2 ≈ 10 см * 1.707 ≈ 17.07 см

Отже, середня лінія (медіана) прямокутної трапеції приблизно дорівнює 17.07 см.