Question

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота BK, так что AK = 5см, BC = 3 см ; Найти BK, KC, AB. В каком отношении BK делит площадь треугольника ABC?

Answer 1

BK:Sabc=2:1

AB=4

BK=3

KC=√18

Sabc=6

Answer 2

Дано, что AK = 5 см, BC = 3 см.

Мы можем использовать следующие свойства прямоугольного треугольника:

1. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника.

2. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Это означает, что AB^2 = AK^2 + BK^2.

Используя свойство 1, мы можем сказать, что треугольник ABK подобен треугольнику ABC. Так как BK является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, и AK является одной из катетов, то отношение BK к KC равно отношению AK к BC.

Таким образом, BK/KC = AK/BC = 5/3.

Теперь мы можем решить систему уравнений для определения значений BK, KC и AB.

1. Используя теорему Пифагора, получаем: AB^2 = AK^2 + BK^2. Подставляем известные значения: AB^2 = 5^2 + BK^2. AB^2 = 25 + BK^2.

2. Используя отношение BK/KC = 5/3, получаем: BK = (5/3) * KC.

3. Так как BK и KC являются высотами, проведенными к гипотенузе, мы знаем, что их сумма равна гипотенузе: BK + KC = BC. Подставляем значение BK: (5/3) * KC + KC = 3. (8/3) * KC = 3. KC = (3 * 3) / 8. KC = 9/8.

Теперь мы можем найти значения BK и AB, используя найденное значение KC.

BK = (5/3) * (9/8). BK = 15/8.

AB^2 = 25 + (15/8)^2. AB^2 = 25 + 225/64. AB^2 = (1600 + 225) / 64. AB^2 = 1825 / 64. AB = √(1825 / 64).

Таким образом, мы находим, что BK = 15/8 см, KC = 9/8 см и AB = √(1825 / 64) см.

Чтобы найти, в каком отношении BK делит площадь треугольника ABC, мы можем использовать отношение высот треугольников ABK и ABC. Так как эти треугольники подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения их высот.

Отношение высот BK и KC равно (15/8) / (9/8) = (15/8) * (8/9) = 15/9 = 5/3.

Таким образом, BK делит площадь треугольника ABC в отношении 5/3.