Question

Докажите, что в правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания перпендикулярна боковому ребру, не пересекающему её.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

в основании прав. пирамиды лежит квадрат АВСД,  АС пересек-ся

с ВД  в т. О,  М-вершина пирамиды,  МО-перпендик-р, МС-наклонная,

ОС-ее проекция,  ОС_I_ВД как диагонали квадрата, поэтому ВД

_I_ MC по теор. о 3-х перпендик-х

Answer 2

Доказательство: Правильная четырехугольная пирамида — это пирамида, основание которой является четырехугольником, все стороны и углы которого равны между собой.

Пусть у нас есть правильная четырехугольная пирамида ABCD, где AB, BC, CD и DA - стороны основания, и V - вершина пирамиды.

1. Рассмотрим треугольник ABC, который является основанием пирамиды. Этот треугольник равнобедренный, так как все стороны и углы основания равны. Поэтому высота, опущенная из вершины V на основание ABC, будет перпендикулярна основанию и проходит через его центр.

2. Обозначим высоту из V на основание ABC как H. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то высота H разделяет его на два равных прямоугольных треугольника AVH и BVH.

3. Рассмотрим треугольник AVH. Он является прямоугольным, так как угол AVH является прямым углом (перпендикулярность высоты). Также, т.к. треугольник ABC равнобедренный, то AV и BV равны между собой, таким образом, AV = BV.

4. Так как AV = BV, и треугольник AVH прямоугольный, то он также равнобедренный.

5. Из пункта 4 следует, что VH = VH, так как оба треугольника AVH и BVH равнобедренные.

6. Теперь рассмотрим треугольник VHD, где HD - боковое ребро пирамиды. Поскольку VH = VH, и треугольник VHD прямоугольный (перпендикулярность высоты), то он также равнобедренный.

7. Из пункта 6 следует, что VD = VD, так как оба треугольника VHD и VCD равнобедренные.

8. Из пункта 7 следует, что VD = VD = VD, то есть все три отрезка VD равны между собой.

9. Значит, VD является медианой треугольника VCD. По определению медианы, она делит сторону CD пополам.

Таким образом, мы доказали, что диагональ основания перпендикулярна боковому ребру, не пересекающему его, для правильной четырехугольной пирамиды ABCD.