Question

Помогите пожалуйтса. Отрезок ВA — биссектриса треугольника BCD. Из точки A проведена прямая, пересекающая сторону ВD в точке P так, что AP=PB. Докажите, что AP || BC.

Answer 1

AP=PB ==> треугольник APB - равнобедренный с основанием AB, углы при основании PAB и PBA равны.

Углы PBA=ABC равны (т.к. BA - биссектриса) ==>  PAB=ABC, а это накрест лежащие при прямых AP и BC, значит эти прямые параллельны.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая AP || BC, нам понадобится использовать свойства биссектрисы треугольника и условие AP=PB.

По определению биссектрисы, точка A разделяет сторону BC треугольника BCD на два отрезка BP и PC, пропорциональных соответственно BD и CD.

Также, у нас дано условие AP=PB. Это означает, что точка P равноудалена от вершины B и точки A. Таким образом, точка P находится на середине отрезка BP.

Теперь рассмотрим две треугольные равенства:

Треугольник ABP: AP = PB (по условию) BP = BP (сторона общая) Угол ABP = Угол PBA (угол при основании биссектрисы)

Треугольник BCP: BP = BP (по стороне) CP = CP (по стороне) Угол BCP = Угол PBC (угол при основании биссектрисы)

По свойству биссектрисы, углы при основании равнобедренного треугольника равны, а стороны, противолежащие равным углам, пропорциональны. Таким образом, у нас получается, что угол ABP = угол BCP.

Теперь рассмотрим треугольник APC. У нас уже есть углы ABP и BCP равны, и сторона AP = PC, так как точка P является серединой стороны BC. Таким образом, по признаку равенства треугольников, треугольник APC равнобедренный, и углы при основании равны.

Но у нас также было, что угол ABP = угол BCP. Таким образом, получаем, что угол APC = угол ABP = угол BCP.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас получилось, что углы APC и ABC равны, и угол BCP является общим для этих двух углов. Следовательно, треугольники ABC и APC подобны.

Так как угол ABP = угол BCP, то треугольники ABP и BCP также подобны.

Получаем два случая подобия треугольников:

1. ABC ~ APC (так как углы равны и есть общий угол).
2. ABP ~ BCP (так как углы равны).

Теперь по свойству подобных треугольников, соответствующие стороны параллельны. То есть, AP || BC.

Таким образом, доказано, что прямая AP параллельна стороне BC.