Question

Докажи, что сечение правильного прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, проведённое через B, D и серединную точку M ребра B1C1, является равнобедренной трапецией.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Пусть плоскость проведённая через B, D и серединную точку M ребра B₁C₁ пересекается с плоскостью B₁C₁А₁ по прямой MN. M∈B₁C₁, N∈D₁C₁.

⇒MN||BD⇒BDNM-трапеция

BD||B₁D₁; MN||BD⇒MN||B₁D₁

MN-средняя линия треугольника B₁C₁D₁

ABCDA1B1C1D1- правильный прямоугольный параллелепипед⇒ABCD-квадрат, а боковые грани прямоугольники.

B₁M=0,5B₁C₁=ND₁, DD₁=BB₁, ∠MB₁B=∠ND₁D=90°⇒ΔMB₁B=ΔND₁D⇒MB=ND⇒

⇒BDNM-равнобедренная трапеция. Ч.Т.Д.

Answer 2

Для начала давайте введем обозначения для некоторых точек и величин. Пусть A, B, C, D - вершины правильного прямоугольного параллелепипеда, где AB = BC = CD = DA. Пусть B1 - серединная точка ребра CD, а M - серединная точка ребра B1C1.

Так как параллелепипед правильный, то все его грани прямоугольники, а ребра имеют равные длины. Поэтому AB1 = B1C1 = CD1, где D1 - серединная точка ребра AB. Также, так как B1 - серединная точка ребра CD, то B1D1 = B1A.

Давайте рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B, D и M. Пусть E - точка пересечения этой плоскости с ребром B1D1. Таким образом, у нас есть следующая картинка:

javascriptCopy code
       A _________ B
       /|       / |
      / |      /  |
     /  |     /   |
    D1__|____/___B1
    |   E    |   /
    |    |   |  /
    |    M___|_/
    |   /    | /
    |  /     |/
    | /      |
    |/_______|
   D        C

Из равенства B1D1 = B1A и B1D1 = B1M следует, что B1A = B1M. Также, из равенства B1D1 = B1E следует, что B1M = B1E.

Поскольку AB = B1D1, то треугольник ABD1 равен треугольнику B1D1E по двум сторонам и углу. Таким образом, угол ABD1 равен углу B1D1E. А так как AD1 || B1E (так как они обе перпендикулярны к B1C1), то угол ABD1 также равен углу B1ED1.

Теперь мы видим, что у нас есть два равных угла: угол B1D1E и угол B1ED1, а также две равные стороны: B1M и B1E. Следовательно, по признаку равенства углов и сторон, треугольник B1ED1 равнобедренный.

Таким образом, сечение правильного прямоугольного параллелепипеда, проведенное через точки B, D и M, является равнобедренной трапецией.