Question

СРОЧНОООООО Поза площиною прямокутника ABCD взято точку M, причому MA⊥AB і MA⊥AD. Знайдіть градусну міру кута між прямою MC та площиною ABC, якщо AB=1см, ADдорівнює корінь квадратний з 2 см, AM=1см. *

Answer 1

Задача: Вне плоскости прямоугольника ABCD взяты точки M, причем MA⊥AB и MA⊥AD. Найти градусную меру угла между прямой MC и плоскостью ABC, если AB = 1 см, AD = √2 см, AM = 1 см.

Решение:

ΔAMC — прямоугольный, ∠MAC = 90°, т.к. MA⊥AB и MA⊥AD ⇒ MA⊥ABCD и MA⊥ABC.

AC — диагональ ABCD и проекция MC на плоскость ABC.

∠ACM — угол между прямой MC и плоскостью ABC.

AD = BC = √2 см;  AB = CD = 1 см, т.к. ABCD — прямоугольник.

Найдем AC за т. Пифагора:

    $AC^2=AB^2+BC^2 => AC=\sqrt{AB^2+BC^2} \\AC=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{1+2} = \sqrt{3} \:\: (cm)$

Найдем MC за т. Пифагора:

$MC = \sqrt{AM^2+AC^2} \\MC = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} =\sqrt{1+3} = \sqrt{4} =2 \:\: (cm)$

Если катета меньше за гипотенузу в два раза, он лежит напротив угла в 30°. Катет AM = $\frac{1}{2}$MC  ⇒  ∠ACM = 30°.

Ответ: Градусную меру угла равна 30°.

Answer 2

Для того щоб знайти градусну міру кута між прямою MC та площиною ABC, спочатку візьмемо до уваги прямокутник ABCD і точку M, як описано в умові.

Для зручності, позначимо такі величини: AB = 1 см AD = √2 см AM = 1 см

Ми знаємо, що MA ⊥ AB і MA ⊥ AD, тому ми можемо скласти прямокутний трикутник AMB та прямокутний трикутник AMD.

Позначимо кут між прямою MC та площиною ABC як θ.

Тепер розглянемо прямокутний трикутник AMB: AB = 1 см (сторона прямокутника) AM = 1 см (висота на гіпотенузу) MB = √(AB^2 - AM^2) = √(1^2 - 1^2) = √0 = 0 см

Так як MB = 0 см, це означає, що точка M і точка B збігаються, і отже, кут AMB = 90°.

Тепер розглянемо прямокутний трикутник AMD: AD = √2 см (сторона прямокутника) AM = 1 см (висота на гіпотенузу)

Знаємо, що кут AMD = 90° (бо AD - сторона прямокутника, і MA ⊥ AD).

Тепер ми можемо знайти кут MAD: sin(MAD) = AM / AD sin(MAD) = 1 / √2 MAD ≈ 45°

Тепер, щоб знайти шуканий кут θ, ми можемо застосувати теорему синусів до трикутника AMC:

sin(θ) = MC / MA sin(θ) = MC / 1 (тому що AM = 1 см) θ = arcsin(MC)

Але ми можемо знайти sin(θ) з трикутника AMD, оскільки кут MAD = 45°:

sin(θ) = sin(90° - MAD) = sin(45°)

Тепер ми можемо знайти θ:

θ = arcsin(sin(45°)) ≈ 45°

Отже, градусна міра кута між прямою MC та площиною ABC приблизно дорівнює 45°.