Question

Срочно помогите даю 30 балов 2. Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а медіана 8 см , проведена до нього, Знайдіть периметр трикутника та його гострі кути.

Answer 1

Ответ:

Смотри фотографию...

Answer 2

Зауважте, що медіана, проведена до катета прямокутного трикутника, є також висотою цього трикутника. Ми можемо використовувати ці відомості для розв'язання завдання.

Позначимо катети прямокутного трикутника як $a = 12 \, \text{см}$ і $b$. Медіану, проведену до катета $a$, позначимо як $m = 8 \, \text{см}$.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника:

$a^2 + b^2 = c^2,$

де $c$ - гіпотенуза.

Підставляючи відомі значення:

$12^2 + b^2 = c^2.$

Розв'язуємо відносно $b$:

$b^2 = c^2 - 144.$

Медіана $m$ є висотою трикутника, проведеною до катета $a$. Знаємо, що площа прямокутного трикутника може бути обчислена як половина добутку його катетів:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b.$

Відомо також, що площа може бути обчислена як половина добутку катета, який є основою, на висоту, проведену до цієї основи:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot m.$

Порівнюючи обидва вирази для площі, отримуємо:

$\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot m.$

Скорочуючи на $\frac{1}{2} \cdot a$:

$b = m.$

Отже, медіана, проведена до катета $a$, рівна довжині катета $b$:

$b = 8 \, \text{см}.$

Підставимо це значення назад у рівняння для гіпотенузи:

$b^2 = c^2 - 144.$ $8^2 = c^2 - 144.$

Розв'яжемо це рівняння відносно $c$:

$64 = c^2 - 144.$ $c^2 = 64 + 144.$ $c^2 = 208.$ $c = \sqrt{208} \approx 14.387\, \text{см}.$

Таким чином, гіпотенуза $c$ прямокутного трикутника дорівнює близько 14.387 см.

Тепер ми можемо знайти периметр трикутника:

$P = a + b + c.$ $P = 12 + 8 + 14.387 \approx 34.387 \, \text{см}.$

Щоб знайти гострі кути, використаємо тригонометричні відношення. Позначимо гострі кути як $A$ і $B$. Для цього ми можемо використовувати тангенси:

$\tan(A) = \frac{m}{\frac{c}{2}} \quad \text{та} \quad \tan(B) = \frac{m}{\frac{a}{2}}.$

Підставляючи відомі значення:

$\tan(A) = \frac{8}{\frac{14.387}{2}} \approx 1.116 \quad \text{та} \quad \tan(B) = \frac{8}{\frac{12}{2}} = \frac{8}{6} = 1.333.$

Використовуючи табличні значення тангенсів, ми можемо знайти відповідні гострі кути:

$A \approx 48.99^\circ \quad \text{та} \quad B \approx 53.13^\circ.$

Отже, периметр трикутника приблизно дорівнює 34.387 см, а його гострі кути приблизно 48.99° та 53.13°.