Question

Стороны треугольника равны 3 см, 4см, 5см. Найдите длины его медиан

Answer 1

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным

$a^2+b^2=c^2\\3^2+4^2=5^2\\9+16=25\\25=25$

Следовательно, треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный.

Обозначим треугольник данный тр-к за ABC, ∠B = 90°, AE, BD и CF — медианы.

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

    $BD = \frac{1}{2} AC\\BD = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5 \:\: (cm)$

Остальные медианы ищем по т. Пифагора:

    $AF = BF = 3/2 = 1.5 \:\: (cm)\\CE = BE = 4/2 = 2 \:\: (cm)$

    $CF = \sqrt{BC^2+BF^2} \\CF = \sqrt{4^2+1,5^2}=\sqrt{16+2,25} = \sqrt{18,25} \approx 4.27 \:\: (cm)\\\\AE = \sqrt{AB^2+BE^2} \\AE = \sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx 3.61 \:\: (cm)$

Ответ: Длины медиан равны 2.5, 3.61, 4,27 см.

Answer 2

Для нахождения длин медиан треугольника можно воспользоваться следующими формулами:

Медиана, проведенная к стороне a: $m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Медиана, проведенная к стороне b: $m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$

Медиана, проведенная к стороне c: $m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

В вашем случае стороны треугольника равны $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 5$ см. Подставляя эти значения в формулы, мы получим:

Для медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$: $m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 5^2 - 3^2} = \frac{1}{2} \sqrt{32 + 50 - 9} = \frac{1}{2} \sqrt{73}$

Для медианы $m_b$, проведенной к стороне $b$: $m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 5^2 - 4^2} = \frac{1}{2} \sqrt{18 + 50 - 16} = \frac{1}{2} \sqrt{52}$

Для медианы $m_c$, проведенной к стороне $c$: $m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 4^2 - 5^2} = \frac{1}{2} \sqrt{18 + 32 - 25} = \frac{1}{2} \sqrt{25} = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$

Итак, длины медиан треугольника составляют: $m_a = \frac{1}{2} \sqrt{73}, \quad m_b = \frac{1}{2} \sqrt{52}, \quad m_c = 2.5$