Question

высота треугольника разделяет его на два треугольника периметры которых равны. докажите что этот треугольник равнобедренный! ПРОШУ, СРО4НО! ​

Answer 1

На прямой AC отложим боковые стороны стороны  

AD=AB, CE=CB

△BAD, △BCE - равнобедренные, углы при основаниях равны

BAC= D+ABD =2D (внешний угол)

BCA= E+CBE =2E

AB+AH =CB+CH => AD+AH =CE+CH => DH=HE

BH - высота и медиана в △DBE => △DBE - равнобедренный

D=E => BAC=BCA => △ABC - равнобедренный

Answer 2

Пусть у нас есть треугольник ABC, и его высота, проведенная из вершины A, делит его на два треугольника ABH и ACH. Пусть периметры этих треугольников равны, то есть:

Периметр ABH = a + b + AH Периметр ACH = AC + CH + AH

где a и b - стороны треугольника ABH, AC - сторона треугольника ACH, AH - высота треугольника ABC из вершины A, CH - отрезок высоты, проведенной из вершины C на сторону AB.

Поскольку мы знаем, что периметры этих треугольников равны, то:

a + b + AH = AC + CH + AH

Теперь выразим AH через известные длины сторон треугольника ABC:

AH = 2 * площадь(ABC) / BC

где площадь(ABC) - площадь треугольника ABC, BC - основание треугольника ABC (сторона, на которую опущена высота из вершины A).

Подставим это выражение для AH обратно в уравнение периметров:

a + b + 2 * площадь(ABC) / BC = AC + CH + 2 * площадь(ABC) / BC

Сократим общие члены:

a + b = AC + CH

Это означает, что сумма длин сторон треугольника ABH равна сумме длин сторон треугольника ACH.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. По неравенству треугольника сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны:

a + b > AC a + AC > b b + AC > a

Но мы уже выяснили, что a + b = AC + CH. Подставим это равенство в первое неравенство:

AC + CH > AC

Это может быть выполнено только в том случае, если CH (отрезок высоты) равен нулю, то есть высота проведена из вершины A на сторону BC, делая треугольник ABC равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что если высота треугольника делит его на два треугольника с равными периметрами, то исходный треугольник ABC является равнобедренным.