Question

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 8–√3 см. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

Площадь правильного треугольника через радиус вписанной окружности можно посчитать по формуле:

$><strong></strong></p> <p><strong></strong><img src=$ 0 0

Answer 2

Давайте обозначим радиус вписанной окружности через r, а сторону правильного треугольника через a.

Для правильного треугольника верно, что его радиус вписанной окружности связан с длиной стороны следующим образом:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Известно, что радиус вписанной окружности равен $8 - \sqrt{3}$ см. Подставим это значение:

$8 - \sqrt{3} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Умножим обе стороны уравнения на $2\sqrt{3}$:

$2\sqrt{3} \cdot (8 - \sqrt{3}) = a$

$a = 16\sqrt{3} - 3$

Теперь, чтобы найти площадь правильного треугольника, воспользуемся формулой для площади равностороннего треугольника:

$\text{Площадь} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a$:

$\text{Площадь} = \frac{(16\sqrt{3} - 3)^2 \sqrt{3}}{4}$

$\text{Площадь} = \frac{(768 - 96\sqrt{3} + 9) \sqrt{3}}{4}$

$\text{Площадь} = \frac{777\sqrt{3} - 288\sqrt{3}}{4}$

$\text{Площадь} = \frac{489\sqrt{3}}{4} \approx 211.43 \, \text{см}^2$

Итак, площадь треугольника примерно равна $211.43 \, \text{см}^2$.