Question

Доказать что в равнобедренном треугольнике две высоты равные

Answer 1

Ответ:

Построим равнобедренный треугольник АВО с основанием АВ. Проведем высоты АД и ВЕ.

Рассмотрим треугольники AОД и BCЕ.

AО=BО (как боковые стороны равнобедренного треугольника), угол АОВ - общий, углы AДО=BЕО=90 (так как AД и BЕ высоты).

Сумма углов треугольника равна 180 градусам.

В треугольнике AОД угол ОAД=180-(AДО+АОВ)=180 - 90 - АОВ=90-АОВ градусов.

В треугольнике BОЕ угол ОBЕ=180- (BЕО+АОВ)=180- 90 -АОВ=90-АОВ градусов.

Значит: углы ОAД=ОBЕ.

Следовательно, треугольники AОД и BОЕ равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Так как треугольники AОД и BОЕ равны то и соответствующие стороны равны: AД=BЕ.

Answer 2

Давайте обозначим равнобедренный треугольник как ABC, где AB = AC. Пусть H1 и H2 - это высоты, опущенные из вершин B и C соответственно.

Для доказательства равенства высот H1 и H2, мы можем воспользоваться свойством подобных треугольников. Давайте рассмотрим следующие подобные треугольники:

1. ΔABC подобен ΔABH1 по общему углу при вершине A.
2. ΔABC подобен ΔACH2 по общему углу при вершине A.

Теперь у нас есть две пары подобных треугольников с общей вершиной A и одним общим углом. Следовательно, мы можем написать следующие пропорции:

1. AB / AC = AB / AH1 (по подобию ΔABC и ΔABH1)
2. AB / AC = AC / AH2 (по подобию ΔABC и ΔACH2)

Так как AB = AC, то мы можем упростить пропорции:

1. 1 = AB / AH1
2. 1 = AC / AH2

Отсюда следует, что AH1 = AB и AH2 = AC.

Таким образом, высоты H1 и H2 равны соответственно сторонам AB и AC треугольника ABC, что доказывает, что в равнобедренном треугольнике две высоты равны.