Question

Найдите площадь боковой поверхности и объем прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если AA1 = 9 см, AC = 7 см, BC = 5 см, угол ABC = 120°.

Answer 1

Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед; АА1= 9 см, АС= 7 см, ВС= 5 см, ∠АВС= 120°.

Найти: S боковой поверхности, V(объём)

Решение.

1) У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм, а боковые грани - прямоугольники.

В ΔABC по теореме косинусов найдём сторону АВ.

АС²= АВ²+ВС²–2АВ•ВС•cos120°;

49= AB²+25–2•5•AB•(–½);

49= AB²+5AB+25;

AB²+5AB–24= 0;

По т.Виета решаем это кв.уравнение и получаем: АВ=3 или АВ= –8. Отрицательным не может быть, значит, делаем вывод, что АВ= 3 см.

2) А теперь вспоминаем все формулы (во вложении)

3) Сначала находим площадь основания.

Sосн.= АВ•ВС•sin120°= 3•5• (√‎3/2)= (15√‎3)/2.

4) Находим объём:

V= Sосн.•АА1= (15√‎3)/2 •9= (135√‎3)/2 (см³).

5) Находим площадь боковой поверхности.

S бок.= 2•АВ•АА1+2•ВС•АА1= 2•3•9+2•5•9= 144 см²

Ответ: S= 144 см², V= (135√‎3)/2 см³

Answer 2

АС- это диагональ параллелограмма, лежащего в основании. по теореме косинусов АС²=ВС²+АВ²-2АВ*ВС*cos120°

Пусть АВ=х, тогда 49=25+х²-10*х*(-1/2)

х²+5х-24=0, по Виету  х=-8, ∅, т.к. сторона не может быть отрицательной, х=3, значит, АВ=3см, тогда объем равен

(АВ*ВС*sin120°/2)*AA₁=3*5*9√3/2=67.5√3/cм³/

Площадь боковой поверхности равна 9*(5+5+3+3)=16*9=144/см²/

Answer 3

Для решения этой задачи, давайте сначала определим параметры данного параллелепипеда.

Дано:

• AA1 = 9 см
• AC = 7 см
• BC = 5 см
• Угол ABC = 120°

Для начала, давайте назовем вершины параллелепипеда:

• A, B, C, D - вершины основания ABCD
• A1, B1, C1, D1 - соответствующие вершины основания A1B1C1D1

Из данной информации, мы видим, что AB и A1B1 являются противоположными ребрами параллелепипеда. Кроме того, известен угол ABC.

Давайте начнем с нахождения высоты параллелепипеда. Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC и углом 120°, мы можем использовать тригонометрические соотношения для вычисления высоты.

Высота h = AC * sin(60°), так как у нас угол 120° разбивает прямоугольный треугольник ABC на два треугольника с углами 30°, 60° и 90°.

h = 7 * √3 / 2 = (7√3) / 2 см

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности. Параллелепипед имеет 4 боковых грани, и каждая боковая грань - это прямоугольный треугольник, у которого один катет равен высоте h, а другой катет равен длине ребра BC (поскольку AB и A1B1 - противоположные ребра).

Площадь одной боковой поверхности S_bok = (1/2) * BC * h

S_bok = (1/2) * 5 * (7√3) / 2 = (35√3) / 4 см²

Наконец, можно найти объем параллелепипеда. Объем параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты:

V = AB * BC * h

V = 9 * 5 * (7√3) / 2 = (315√3) / 2 см³

Итак, площадь боковой поверхности равна (35√3) / 4 см², а объем параллелепипеда равен (315√3) / 2 см³.