Question

Пожалуйста, помогите доказать утверждение : "Угол между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе, равен разности острых углов прямоугольного треугольника." (Геометрия, 7 класс) Задача со звёздочкой. У меня сейчас башка не варит. Через час будет уже не актуально. Правильное ПОДРОБНОЕ решение помечу как лучшее!

Answer 1

Решение во вложении. Спрашивайте, если что.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение. Для начала, обозначим наш прямоугольный треугольник как ABC, где AB - гипотенуза, BC и AC - катеты. Медиана, проведенная из вершины угла A, пересекает гипотенузу в точке D, а высота, опущенная из вершины A, пересекает гипотенузу в точке E.

1. Построение:

Начнем с построения. Проведем медиану AD и высоту AE из вершины A:

mathematicaCopy code
  B
 /|
/ |
A-+-C
| |
| |
D E

2. Доказательство:

Теперь мы можем рассмотреть два треугольника: △ABD и △ACE.

У нас есть несколько пар вертикальных углов:

• ∠BDA и ∠ECA (по построению параллельности медианы и высоты к гипотенузе);
• ∠ABD и ∠CAE (вертикальные углы, так как они образованы пересечением прямых).

С учетом вертикальных углов, угол между медианой и высотой в вершине A будет равен углу между сторонами △ABD и △ACE.

Таким образом, мы можем записать следующее:

∠DAB = ∠CAE (вертикальные углы) ∠ADE = ∠BDA (вертикальные углы) ∠BAD = ∠EAC (вертикальные углы) ∠ABD = ∠CAE (вертикальные углы)

Из этих равенств мы видим, что треугольники △ABD и △ACE равны по двум углам и общей стороне (сторона AC).

Так как два угла и сторона прилежат к общему углу, эти треугольники подобны.

Из подобия треугольников следует:

AB / AD = AC / AE

Теперь мы можем выразить AE через AD:

AE = (AC * AD) / AB

Вспомним, что медиана AD равна половине гипотенузы:

AD = AB / 2

Подставим это значение в предыдущее уравнение:

AE = (AC * AB / 2) / AB

AE = AC / 2

Таким образом, высота AE равна половине катета AC.

Аналогично, высота BF, проведенная к гипотенузе, также будет равна половине катета BC.

Таким образом, угол между медианой и высотой (AEF) будет равен углу между высотой и медианой (DEF), а также разности углов ABC и ACB:

∠AEF = ∠DEF = ∠ABC - ∠ACB

Что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что угол между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе, равен разности острых углов прямоугольного треугольника.