Question

Найдите площядь треугольника прямоугольного, если гипотенуза = 10, а сумма катетов = 14.

Answer 1

Ответ:

$10 = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2} } \\ x + y = 14 \\ x = 8 \\ y = 6$

$\frac{8 \times 6}{2} = 24$

Ответ: 24

Answer 2

Давайте обозначим катеты как $a$ и $b$. У нас дано, что $a + b = 14$ и гипотенуза $c = 10$.

Мы знаем, что для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим значения гипотенузы и уравнения $a + b = 14$:

$a^2 + b^2 = 10^2$ $a^2 + b^2 = 100$

Теперь у нас есть система уравнений:

a + b &= 14 \\ a^2 + b^2 &= 100 \end{align*}\] Мы можем выразить один из катетов через другой в первом уравнении: \(a = 14 - b\). Подставляем это значение во второе уравнение: \[(14 - b)^2 + b^2 = 100\] \[196 - 28b + b^2 + b^2 = 100\] \[2b^2 - 28b + 96 = 0\] Решим это квадратное уравнение относительно \(b\): \[b^2 - 14b + 48 = 0\] Факторизуем: \[(b - 6)(b - 8) = 0\] Отсюда получаем два значения для \(b\): \(b = 6\) или \(b = 8\). Теперь, зная значение одного из катетов, мы можем найти второй катет, используя \(a = 14 - b\). Для \(b = 6\), \(a = 14 - 6 = 8\). Для \(b = 8\), \(a = 14 - 8 = 6\). Таким образом, у нас есть два возможных треугольника с катетами \(6\) и \(8\) или \(8\) и \(6\). Оба треугольника являются прямоугольными. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: \(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{Катет}_1 \times \text{Катет}_2\). Для катетов \(6\) и \(8\): \[\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\] И для катетов \(8\) и \(6\): \[\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24\] Таким образом, площадь прямоугольного треугольника в обоих случаях равна \(24\).