Question

Дано вектори m (4;-2; 12), n (1; 3; 1), k(-1;y;-16). При якому значенні у модуль вектора m-n-kнабуває найменшого начення? Знайдіть це значення модуля.​

Answer 1

Даны векторы m (4;-2; 12), n (1; 3; 1), k(-1;y;-16).

Находим вектор m-n-k:

m-n-k = (4; (-5 - у); 27).

Значение у будет минимальным при минимальной длине L вектора m-n-k.

L = √(16 + 25 + 10y + y² + 729) = √(y² + 10y + 770).

Длина минимальна при минимальном значении подкоренного выражения.  Найдём производную его и приравняем нулю:

f'(y) = 2y + 10 = 0.

Ответ: у(мин) = -10/2 = -5.

Answer 2

Давайте спершу знайдемо вектор різниці між векторами m та n: m - n = (4 - 1, -2 - 3, 12 - 1) = (3, -5, 11).

Тепер ми хочемо знайти значення y таке, щоб модуль вектора m - n - k був найменшим. Відомо, що модуль вектора (a, b, c) дорівнює √(a^2 + b^2 + c^2).

У нашому випадку маємо вектор m - n - k = (3, -5, 11 - (-16 + y)) = (3, -5, 27 - y).

Тоді модуль цього вектора дорівнює √(3^2 + (-5)^2 + (27 - y)^2).

Для того щоб знайти значення y, при якому ця величина буде мінімальною, ми повинні знайти мінімум функції f(y) = 3^2 + (-5)^2 + (27 - y)^2.

f(y) = 9 + 25 + (27 - y)^2 = 34 + (27 - y)^2.

Ця функція є параболою, і мінімум буде досягнутий, коли від'ємний доданок (27 - y)^2 буде дорівнювати нулю. Тобто:

(27 - y)^2 = 0.

Звідси маємо:

27 - y = 0, y = 27.

Отже, найменше значення модуля вектора m - n - k буде досягнуте при y = 27, і відповідне значення модуля буде:

√(3^2 + (-5)^2 + (27 - 27)^2) = √(9 + 25 + 0) = √34.

Отже, найменше значення модуля буде √34, і це відбудеться при y = 27.