Question

В треугольнике ABC биссектриса угла C делит высоту проведённую из вершины A в отношении 5:4 считая от точки A Найдите радиус окружности описанной около треугольника ABC если AB=10

Answer 1

Из разряда задач на тему "задан косинус, надо найти синус".

A1 - основние высоты, K - точка пересечения этой высоты AA1 с биссектриссой угла С. Ясно, что CA1/CA = A1K/AK = 4/5 = cos(C);

sin(C) = 3/5; R = 10/(2*3/5) = 50/6 = 25/3; это висело год на сервисе!

Answer 2

Давайте обозначим высоту, проведенную из вершины A, как h, а биссектрису угла C, которая делит эту высоту в отношении 5:4, как bd (где bd - это расстояние от точки B до точки, где биссектриса пересекает высоту).

Из данного нам отношения 5:4, мы можем записать следующее уравнение:

h / bd = 5 / 4

Отсюда можно выразить bd через h:

bd = (4/5) * h

Так как высота проведена из вершины A, а биссектриса пересекает противолежащую ей сторону (AB), мы можем записать следующее соотношение:

S(ABC) = (1/2) * AB * h

где S(ABC) - площадь треугольника ABC.

С другой стороны, площадь треугольника ABC также можно выразить через радиус описанной окружности R:

S(ABC) = (1/2) * AB * R

Приравнивая два выражения для площади треугольника ABC, получаем:

(1/2) * AB * h = (1/2) * AB * R

h = R

То есть, высота проведенная из вершины A равна радиусу описанной окружности треугольника ABC.

Исходя из этого, радиус описанной окружности R равен высоте, проведенной из вершины A:

R = h

Теперь мы должны выразить высоту h через данные о треугольнике ABC.

В треугольнике ABC мы можем использовать теорему Пифагора:

AC^2 + BC^2 = AB^2

где AC - высота проведенная из вершины A, а BC - биссектриса угла C.

Мы уже знаем, что AC = h и BD = (4/5) * h.

Подставляя значения и решая уравнение, получим:

h^2 + ((4/5) * h)^2 = AB^2

h^2 + (16/25) * h^2 = 10^2

(25/25) * h^2 + (16/25) * h^2 = 100

(41/25) * h^2 = 100

h^2 = (25/41) * 100

h^2 = 2500 / 41

h ≈ 6.077

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника ABC приблизительно равен 6.077 (округляется до трех десятичных знаков).