Question

Точка D не принадлежит плоскости треугольника АВС. Точка D равноудалена от концов отрезка ВС, точка А также равноудалена от концов отрезка ВС. Докажите, что прямые ВС и АD перпендикулярны.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

пусть М - середина отрезка BC. треугольник ABC– равнобедренный, так как АВ = АС. Тогда медиана АМ является и высотой, то есть AM перпендикулярна BC

Треугольник DВС – равнобедренный, так как DВ = DС. Тогда медиана DМ является и высотой, то есть DM  перпендикулярна BC

Прямая ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым DM и AM из плоскости DMA, а значит, прямая ВС перпендикулярна прямой DA, которая лежит в плоскости DMA, что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию более детально. У нас есть треугольник ABC, точка D вне этой плоскости и такая, что она равноудалена от концов отрезка BC, а также точка A также равноудалена от концов отрезка BC.

Обозначим середину отрезка BC как M. Так как точка D равноудалена от концов отрезка BC, она лежит на перпендикулярной биссектрисе относительно отрезка BC. То же самое верно и для точки A.

Теперь рассмотрим отрезок AM. Так как точка A равноудалена от концов отрезка BC, она также лежит на перпендикулярной биссектрисе относительно отрезка BC, проходящей через середину M. Таким образом, точка A также лежит на перпендикулярной биссектрисе угла BAC.

Итак, у нас есть две перпендикулярные биссектрисы угла BAC: одна проходит через точку D, а другая - через точку A. Это означает, что точки D и A находятся на биссектрисах этого угла и находятся на равном удалении от его вершины (точки B и C). Это возможно только если точки D и A совпадают.

Но изначально было сказано, что точка D находится вне плоскости треугольника ABC. Следовательно, мы пришли к противоречию, и точка D не может совпадать с точкой A.

Таким образом, мы пришли к выводу, что прямые BC и AD перпендикулярны.