Question

Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 12 і 18 см, а діагоналі взаємно перпендикулярні. Знайдіть площу трапеції.

Answer 1

Ответ:

225 см²

Объяснение:

АВ = CD так как трапеция равнобедренная,

∠ВАD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции,

AD - общая сторона для треугольников ВАD и CDA, ⇒

ΔВАD = ΔCDA по двум сторонам и углу между ними,

значит ∠CAD = ∠BDA.

Тогда ΔAOD равнобедренный прямоугольный.

ΔСОВ подобен ему по двум углам (∠OBC = ∠ODA как накрест лежащие при пересечении AD║BC и секущей BD, а углы при вершине О прямые), значит ΔСОВ тоже равнобедренный.

Проведем высоту трапеции КН через точку пересечения диагоналей.

Для равнобедренных треугольников AOD и ВОС отрезки ОН и ОК - высоты и медианы, а в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине:

КО = ВС/2

НО = AD/2, ⇒

KH = (AD + BC)/2 = (18 + 12)/ 2 = 15 см,  

тогда площадь трапеции:

S = (AD + BC)/2 · KH

S = (18 + 12)/ 2 · 15 = 15 · 15 = 225 (см²)

Полезно запомнить:

Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна полусумме оснований или средней линии.

Answer 2

Для знаходження площі рівнобічної трапеції, де діагоналі взаємно перпендикулярні, ми можемо скористатися наступною формулою:

Площа трапеції (S) дорівнює половині добутку суми основ трапеції (a + b) на висоту (h):

S = 0.5 * (a + b) * h.

В даному випадку, ми знаємо, що одна основа (a) дорівнює 12 см, і інша основа (b) дорівнює 18 см. Діагоналі взаємно перпендикулярні, тому можемо вважати, що одна діагональ (d₁) є висотою трапеції, а інша діагональ (d₂) є сумою основ (a + b):

d₁ = a = 12 см, d₂ = a + b = 12 + 18 = 30 см.

Підставимо ці значення у формулу площі трапеції:

S = 0.5 * (d₁ + d₂) * h = 0.5 * (12 + 30) * 12.

Обчислимо вираз у дужках:

S = 0.5 * 42 * 12 = 21 * 12 = 252.

Отже, площа рівнобічної трапеції дорівнює 252 квадратним сантиметрам.