Question

Один из углов прямоуг.треугольника в два раза меньше другого. а разность гипотенузы и меньшего катета равна 20см. Найти гипотенузу и меньший катет !

Answer 1

Ответ: решение на рисунке.

Answer 2

Обозначим угол прямоугольного треугольника, который в два раза меньше другого, через $x$ градусов. Тогда больший угол будет $2x$ градусов.

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, сумма всех углов равна 180 градусов. Так как у нас есть два угла ($x$ и $2x$), то третий угол будет $90^\circ - (x + 2x) = 90^\circ - 3x$.

Теперь мы знаем, что разность гипотенузы и меньшего катета равна 20 см. Пусть гипотенуза равна $h$ см, а меньший катет равен $c$ см.

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника: $h^2 = c^2 + (2c)^2$

Учитывая, что $h^2 = c^2 + 4c^2 = 5c^2$, у нас есть следующее уравнение: $5c^2 = (c + 20)^2$

Раскроем квадрат справа: $5c^2 = c^2 + 40c + 400$

Теперь выразим $c$: $4c^2 - 40c - 400 = 0$

Разделим это уравнение на 4: $c^2 - 10c - 100 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного корня или других методов. Решениями будут: $c = 10 \pm 10\sqrt{2}$

Поскольку длина не может быть отрицательной, выберем положительное значение: $c = 10 + 10\sqrt{2}$

Теперь, зная $c$, мы можем найти $h$ из уравнения $h^2 = 5c^2$: $h^2 = 5 \cdot (10 + 10\sqrt{2})^2$ $h^2 = 500 + 1000\sqrt{2}$ $h = \sqrt{500 + 1000\sqrt{2}}$

Таким образом, гипотенуза $h$ и меньший катет $c$ равны: $h \approx 31.83 \, \text{см}$ $c \approx 24.14 \, \text{см}$