Question

две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Через точку A проводятся все возхможные прямые, пересекающие окружности в еще двух тчоках. найдите множество середин отрезков с концами в этих точках.

Answer 1

Ответ:

Фигура "неваляшка" (контуры "восьмерки").

Answer 2

Множество середин отрезков, соединяющих точки на двух окружностях, которые получаются при пересечении различных прямых, проведенных через точку A, образует окружность.

Для доказательства этого факта можно воспользоваться следующими шагами:

1. Пусть P и Q - две точки на одной из окружностей, а X и Y - две точки на другой окружности. Эти точки образуют пересечение двух прямых, проведенных через точку A.

2. Рассмотрим среднюю точку M отрезка PQ и среднюю точку N отрезка XY. Для нахождения средней точки отрезка, можно просто взять среднее арифметическое координат концов этого отрезка.

3. Так как все прямые проходят через одну и ту же точку A, то отрезки PX и QY также пересекаются в этой точке.

4. Рассмотрим треугольники AMP и ANQ, где M - середина отрезка PQ, а N - середина отрезка XY. Так как средняя линия в треугольнике параллельна одной из сторон и равна половине этой стороны, то AM = MP и AN = NQ.

5. Из пункта 4 следует, что у треугольников AMP и ANQ равные стороны, следовательно, они подобны.

6. По свойствам подобных треугольников, углы между сторонами параллельны и радианы относятся как соответствующие стороны. Таким образом, ∠MAN = ∠MQN, где ∠MAN - угол между прямыми, проведенными через точку A, а ∠MQN - угол между отрезками, соединяющими средние точки отрезков.

7. Из равенства углов следует, что прямые, проведенные через середины соседних отрезков, параллельны.

8. Следовательно, эти отрезки лежат на одной окружности с центром в точке A.

Итак, множество середин отрезков, соединяющих точки, полученные при пересечении прямых, проведенных через точку A на двух окружностях, образует окружность с центром в точке A.