Question

Найти производную: а) 3х^2 – х^3 б) 4х^2 + 6х + 3 в) (3х^2 + 1)(3х^2 - 1) г) х/1+ х^2

Answer 1

Ответ: a) 6x-3x^2     b)8x+6     в)36x^3      г) 2x

Answer 2

Давайте найдем производные для каждого из данных выражений:

а) $3x^2 - x^3$ Производная данной функции по переменной $x$ будет равна: $\frac{d}{dx}(3x^2 - x^3) = 6x - 3x^2.$

б) $4x^2 + 6x + 3$ Производная данной функции: $\frac{d}{dx}(4x^2 + 6x + 3) = 8x + 6.$

в) $(3x^2 + 1)(3x^2 - 1)$ Для нахождения производной произведения функций можно воспользоваться правилом производной произведения: $\frac{d}{dx}[(3x^2 + 1)(3x^2 - 1)] = (3x^2 - 1) \cdot \frac{d}{dx}(3x^2 + 1) + (3x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx}(3x^2 - 1).$

$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x,$ $\frac{d}{dx}(3x^2 - 1) = 6x.$

Подставляя значения производных, получим: $(3x^2 - 1) \cdot 6x + (3x^2 + 1) \cdot 6x = 18x^3 - 6x + 18x^3 + 6x = 36x^3.$

г) $\frac{x}{1 + x^2}$ Для нахождения производной данной функции можно воспользоваться правилом дифференцирования частного: $\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1 + x^2}\right) = \frac{(1 + x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2)}{(1 + x^2)^2}.$

Вычисляя производные, получим: $\frac{(1 + x^2) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}.$

Итак, производные данных выражений: а) $6x - 3x^2$, б) $8x + 6$, в) $36x^3$, г) $\frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}.$