Question

Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объем этого параллелепипеда, если высота его 6, диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°.

Answer 1

АВСДА₁В₁С₁Д₁-данный параллелепипед

АА₁=6,

АС₁А₁=45°

1. Рассмотрим ΔАА₁С₁-прямоугольный.

АС₁А₁=С₁АА₁=45°

ΔАА₁С₁-равнобедренный

А₁С₁=АА₁=6

2. Находим сторону основы (квадрата), зная ее диагональ.

d=a√2

a=d/√2 = 6/√2 = 3√2

3. Находим объём параллелепипеда. 

V=abc

V=3√2·3√2·6=108 (куб.ед.)

Ответ. 108 куб.ед. 

Answer 2

Пусть сторона квадрата основания параллелепипеда равна "а". Так как диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°, то мы можем использовать информацию о правильных треугольниках для нахождения высоты "h" параллелепипеда.

Внутри параллелепипеда возникает правильный треугольник с гипотенузой, равной диагонали параллелепипеда, и катетами, равными высоте "h" и половине стороны квадрата "a/2". С учетом угла 45°, мы знаем, что катеты этого треугольника равны, так как это правильный треугольник, в котором все углы равны 60°. Следовательно:

$\frac{a}{2} = h$.

Теперь, зная высоту "h", мы можем найти объем параллелепипеда, используя формулу:

Объем = Площадь основания × Высота = a^2 × h = a^2 × $\frac{a}{2}$ = $\frac{a^3}{2}$.

Мы знаем, что высота "h" равна 6, так как это дано в условии. Также из уравнения $\frac{a}{2} = h$ можно найти "a":

$a = 2h = 2 \cdot 6 = 12$.

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для объема:

Объем = $\frac{a^3}{2}$ = $\frac{12^3}{2}$ = 216.

Итак, объем прямоугольного параллелепипеда равен 216 единицам объема.