Question

Диагональ правильной четырехугольной призмы равна а и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь поверхности призмы.

Answer 1

СС1=а*cos30=а√3/2

Sбок=CC1*Pосн=СС1*4*АД=а√3/2(4*a/(2√2))=а²√(3/2) -площадь боковой поверхности призмы

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте вначале разберемся с геометрической конфигурацией призмы. У нас есть правильная четырехугольная призма с плоскостью основания, образующей угол 30° с одной из диагоналей.

Из описания следует, что у нас есть ромб в основании призмы, в котором один из углов равен 30°, а диагональ призмы равна "а". Поскольку у нас правильная призма, все боковые грани будут прямоугольниками.

Давайте обозначим стороны ромба следующим образом:

• Пусть "a" - длина диагонали основания ромба.
• "b" - половина длины стороны ромба.

Так как у нас правильная призма, то боковые стороны прямоугольников равны "a", а "b" - высота призмы.

Сначала найдем длину стороны ромба: По свойствам ромба: $a^2 = b^2 + b^2 = 2b^2$ $b^2 = \frac{a^2}{2}$ $b = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Теперь вычислим высоту призмы: Так как угол между диагональю и плоскостью основания равен 30°, то можем использовать тригонометрию: $\sin(30^\circ) = \frac{b}{h}$ $\frac{1}{2} = \frac{a}{\sqrt{2} \cdot h}$ $h = \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot 2 = a \cdot \sqrt{2}$

Теперь мы можем вычислить площадь поверхности призмы. Площадь поверхности призмы состоит из площадей двух оснований и четырех боковых сторон.

Площадь основания ромба: $A_{\text{осн}} = b \cdot b = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{2}$ Площадь боковой стороны прямоугольника: $A_{\text{бок}} = a \cdot h = a \cdot (a \cdot \sqrt{2}) = a^2 \cdot \sqrt{2}$

Так как у призмы два одинаковых основания и четыре одинаковые боковые стороны: Площадь поверхности призмы: $A_{\text{пов}} = 2 \cdot A_{\text{осн}} + 4 \cdot A_{\text{бок}} = 2 \cdot \frac{a^2}{2} + 4 \cdot a^2 \cdot \sqrt{2} = a^2 + 4a^2 \cdot \sqrt{2}$

Итак, площадь поверхности данной призмы составляет $a^2 + 4a^2 \cdot \sqrt{2}$.