Question

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH и медианы AA1, BB1 и CC1. Найдите сумму периметра и длин диагоналей четырехугольника с вершинами в точках A1, B1, C1 и H, если AB=10, AC=11, ∠C=60∘.

Answer 1

Ответ:

26.5

Объяснение:

Cм решение в файле.

Answer 2

Для начала давайте найдем длины сторон треугольника ABC, используя заданные данные. Известно, что AB = 10 и AC = 11, а также угол C = 60°.

Мы можем использовать закон синусов для нахождения длин сторон треугольника ABC:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

Где A, B и C - углы треугольника ABC.

Поскольку угол C = 60°, то угол A = 90° (так как сумма углов треугольника равна 180°), и угол B = 30°.

Теперь мы можем подставить известные значения и решить уравнение для нахождения длины стороны BC:

$\frac{BC}{\sin 90°} = \frac{11}{\sin 30°}$ $BC = 11 \cdot \frac{\sin 90°}{\sin 30°}$ $BC = 11 \cdot \frac{1}{0.5}$ $BC = 22$

Таким образом, стороны треугольника ABC равны: AB = 10, BC = 22 и AC = 11.

Теперь, найдем длины медиан и высот треугольника ABC. Высота AH является биссектрисой угла C, поэтому она делит противоположную сторону (AB) в отношении, равном отношению длин других двух сторон:

$AH = \frac{BC}{AC} \cdot AB$ $AH = \frac{22}{11} \cdot 10$ $AH = 20$

Медианы треугольника делят стороны пополам. Так как угол C = 60°, медианы и высоты совпадают в этом случае.

$AA_1 = \frac{AB}{2} = 5$ $BB_1 = \frac{BC}{2} = 11$ $CC_1 = \frac{AC}{2} = 5.5$

Теперь у нас есть четырехугольник с вершинами A1, B1, C1 и H. Давайте назовем его ABC1H.

Длины диагоналей четырехугольника ABC1H:

Диагональ A1C1 = CC1 = 5.5 Диагональ B1H = AH = 20

Периметр четырехугольника ABC1H:

Периметр = A1B1 + B1C1 + C1H + HA1 Периметр = 11 + 5.5 + 20 + 5 = 41.5

Таким образом, сумма периметра и длин диагоналей четырехугольника ABC1H составляет:

41.5 + 5.5 + 20 = 67