Question

більша основа рівнобічної трапеції дорівнює бічній стороні, а діагоналі діляться точкою перетину у відношенні 3:13. знайдіть площу трапеції, якщо її висота дорівнює 48 см​

Answer 1

Ответ:

=====================================

Объяснение:

Answer 2

Позначимо більшу основу рівнобічної трапеції як $BC$ і бічну сторону як $AB$. Діагоналі перетинаються в точці $O$, і їхнє відношення дорівнює $3:13$, тобто $\frac{AO}{OC} = \frac{3}{13}$.

Також нам дана висота трапеції $h = 48$ см.

Ми можемо розділити трапецію на дві прямокутні трикутники $AHO$ і $CBO$, де $H$ - точка перетину висоти і діагоналі $AO$, $OH$ - відстань від вершини трапеції до точки $O$.

Ми можемо записати дві рівності з подібності трикутників $AHO$ і $CBO$:

1. За подібністю трикутників: $\frac{OH}{HO} = \frac{AO}{CO} = \frac{3}{13}$.
2. Оскільки $OH + HO = h$, то $\frac{OH}{h - OH} = \frac{3}{13}$.

Розв'язавши цю рівність відносно $OH$, ми отримаємо $OH = \frac{3h}{16}$.

Площа трапеції може бути обчислена як сума площі двох прямокутних трикутників $AHO$ і $CBO$:

$S_{\text{трапеції}} = S_{AHO} + S_{CBO} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OH + \frac{1}{2} \cdot CO \cdot OH$

Підставляючи вирази для $OH$ та використовуючи співвідношення між діагоналями та бічними сторонами ($AO = \frac{3}{16} \cdot AB$ і $CO = \frac{13}{16} \cdot AB$), ми отримаємо:

$S_{\text{трапеції}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{16} \cdot AB \cdot \frac{3h}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{13}{16} \cdot AB \cdot \frac{3h}{16}$

$S_{\text{трапеції}} = \frac{9}{512} \cdot ABh + \frac{39}{512} \cdot ABh = \frac{48}{512} \cdot ABh = \frac{3}{32} \cdot ABh$

Остаточно, площа трапеції буде:

$S_{\text{трапеції}} = \frac{3}{32} \cdot ABh = \frac{3}{32} \cdot AB \cdot 48 = \frac{144}{32} \cdot AB = 4.5 \cdot AB$

Але ми знаємо, що більша основа $BC$ рівнобічної трапеції дорівнює бічній стороні $AB$, тобто $BC = AB$. Таким чином, площа трапеції виражається як:

$S_{\text{трапеції}} = 4.5 \cdot BC$

Оскільки $BC = AB$, то $S_{\text{трапеції}} = 4.5 \cdot AB$