Question

Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC, точка E на стороне BC. Известно: AD:DC = 4:3, BE:EC = 2:1. а) Отрезки AE и BD пересекаются в точке О. Найдите отношения AO:OE и BO:OD б) Прямая DE пересекает прямую AB в точке К. Найдите отношение AK:AB

Answer 1

По теореме Менелая для треугольника $AEC$ :

$\dfrac{CD}{AD}\cdot \dfrac{AO}{OE}\cdot \dfrac{BE}{BC}=1~\Leftrightarrow~ \dfrac{3x}{4x}\cdot \dfrac{AO}{OE}\cdot \dfrac{2y}{3y}=1~\Rightarrow~ \boxed{ \dfrac{AO}{OE}=2}$

По теореме Менелая для треугольника $BDC:$

$\dfrac{CE}{BE}\cdot \dfrac{BO}{OD}\cdot \dfrac{DA}{AC}=1~\Leftrightarrow~ \dfrac{y}{2y}\cdot \dfrac{BO}{OD}\cdot \dfrac{4}{7}=1~\Rightarrow~ \boxed{\dfrac{BO}{OD}=\dfrac{7}{2}}$

По теореме Менелая для треугольника $ABC$ :

$\dfrac{BE}{EC}\cdot \dfrac{CD}{DA}\cdot \dfrac{AK}{KB}=1~\Leftrightarrow~ \dfrac{2y}{y}\cdot \dfrac{3x}{4x}\cdot \dfrac{AK}{AK+AB}=1~\Rightarrow~ \boxed{\dfrac{AK}{AB}=2}$

Answer 2

Чтобы решить задачу, воспользуемся свойством подобия треугольников.

а) Поскольку AD:DC = 4:3, то можно сказать, что отношение длин отрезков AD и DC соответствует отношению длин соответствующих сторон треугольников AOD и COD. Аналогично, отношение длин отрезков BE и EC соответствует отношению длин соответствующих сторон треугольников BOE и COE.

Таким образом, мы имеем: AO:OD = AD:DC = 4:3, BO:OD = BE:EC = 2:1.

б) Поскольку отрезки AE и BD пересекаются в точке O, то по теореме Менелая для треугольника ABC и прямой, проходящей через точку O, можно записать следующее равенство:

(AD/DC) * (CE/EB) * (BO/OA) = 1.

Подставляя известные значения, получаем:

(4/3) * (1/2) * (BO/OA) = 1.

Упрощая, получаем:

BO/OA = 3/8.

Отсюда можно найти отношение AO:OE:

AO/OE = AO/(BO - BE) = AO/((BO * EC/EB) - EC) = AO/(BO * (EC - 1)) = 1/(BO * (EC - 1)).

Подставляя известные значения, получаем:

AO/OE = 1/(BO * (1 - 1/2)) = 1/(BO * 1/2) = 2/BO.

Таким образом, отношение AO:OE равно 2:BO.

в) Чтобы найти отношение AK:AB, воспользуемся теоремой Безусловной теоремой Чевы для треугольника ABC и точки K:

(AK/KB) * (BE/EC) * (CD/DA) = 1.

Подставляя известные значения, получаем:

(AK/KB) * (2/1) * (3/4) = 1.

Упрощая, получаем:

AK/KB = 4/3.

Отсюда можно сказать, что отношение AK:AB равно:

AK/AB = AK/(AK + KB) = 4/(4 + 3) = 4/7.

Таким образом, отношение AK:AB равно 4:7.