Question

Периметр прямокутного трикутника дорівнює 120 см. Знайдіть довжини його сторін, якщо висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 24 см.​

Answer 1

Площадь треугольника равна произведению радиуса r вписанной окружности на полупериметр треугольника.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

r=(х+у-c)/2 , где х и у-  катеты,  c -гипотенуза. х+у=120-с;

r=(120-с-с)/2=60-c, с другой стороны, радиус равен

S/60=60-с⇒S=3600-60с

S=h*c/2; S=24*с/2=12с

3600-60с=12с⇒с=3600/72=50

S=h*c/2=24*50/2=12*50=600/см²/

Ответ 600см²

Answer 2

Позначимо сторони прямокутного трикутника як a, b і c, де a і b - катети, а c - гіпотенуза. Також позначимо висоту, проведену до гіпотенузи, як h.

Ми знаємо, що периметр трикутника дорівнює сумі довжин його сторін:

a + b + c = 120 см.

Ми також знаємо, що площа прямокутного трикутника може бути обчислена двома способами:

1. Площа трикутника дорівнює половині добутку його катетів і висоти, проведеної до гіпотенузи:

S = 0.5 * a * h.

2. Площа трикутника дорівнює половині добутку його катетів і половини гіпотенузи (оскільки гіпотенуза складається з двох відрізків, які є катетами для подібних прямокутних трикутників):

S = 0.5 * a * b.

Оскільки обидві формули рівні площі одного й того ж трикутника, ми можемо прирівняти їх:

0.5 * a * h = 0.5 * a * b.

Скасуємо спільний множник 0.5 та один з катетів a:

h = b.

Отже, висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює другому катету.

Тепер ми можемо використовувати теорему Піфагора для знаходження гіпотенузи трикутника:

c^2 = a^2 + b^2.

Замінивши b на h, отримаємо:

c^2 = a^2 + h^2.

Підставимо це в рівняння периметра:

a + b + c = 120, a + h + c = 120, a + a + c = 120, 2a + c = 120.

Тепер ми можемо виразити a через c:

a = (120 - c) / 2.

Підставимо це значення a у рівняння Піфагора:

c^2 = ((120 - c) / 2)^2 + h^2.

Розв'яжемо це рівняння для c. Спочатку розкриємо квадрат дробу:

c^2 = (120^2 - 240c + c^2) / 4 + h^2, 4c^2 = 120^2 - 240c + c^2 + 4h^2, 3c^2 = 120^2 + 4h^2, c^2 = (120^2 + 4h^2) / 3, c = sqrt((120^2 + 4h^2) / 3).

Підставляючи значення h = 24 см, ми знаходимо:

c = sqrt((120^2 + 4 * 24^2) / 3) ≈ 69.296 см.

Тепер, маючи значення c, ми можемо знайти значення a:

a = (120 - c) / 2 ≈ (120 - 69.296) / 2 ≈ 25.352 см.

Так як b = h, то b = 24 см.

Отже, довжини сторін прямокутного трикутника приблизно дорівнюють 25.352 см, 24 см і 69.296 см.