Question

Помогите срочнооо В прямоугольной трапеции точка касания вписанной окружности делит большую боковую сторону на отрезки 9 см и 16 см. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Найдем радиус вписанной окружности:

$r=\sqrt{9\times16}=12$

Найдем высоту трапеции:

$h=2r=24$

Найдем основания трапеции:

$a=12+9=21\\b=12+16=28$

Вычислим площадь трапеции:

$S=\dfrac{a+b}{2}\times h=\dfrac{28+21}{2}\times24=588$

Комментарий:

Пусть a=9, а b=16. Несложно вывести формулу, по которой можно сразу найти площадь:

$S={\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^{2}\times\sqrt{ab}$

Задача решена!

Answer 2

Давайте обозначим верхнюю большую сторону трапеции через $AB$ (где $A$ - левый верхний угол, а $B$ - правый верхний угол), а нижнюю меньшую сторону через $CD$ (где $C$ - левый нижний угол, а $D$ - правый нижний угол). Пусть точка касания вписанной окружности с большей стороной трапеции находится на $AB$ и обозначается как $E$.

По свойству вписанной окружности, отрезки, проведенные из точки касания до вершин трапеции, являются радиусами окружности. Обозначим радиус окружности как $r$.

Так как отрезок $CE$ является радиусом окружности, он равен $r$. Аналогично, отрезок $DE$ также равен $r$.

Из информации задачи мы знаем, что точка $E$ делит большую сторону $AB$ на отрезки длиной 9 см и 16 см. То есть, $AE = 9$ см и $EB = 16$ см.

Теперь мы можем записать уравнение на площадь трапеции. Площадь трапеции можно выразить как сумму площадей прямоугольника и прямоугольного треугольника:

$S_{\text{трапеции}} = S_{\text{прямоугольника}} + S_{\text{треугольника}}.$

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон:

$S_{\text{прямоугольника}} = AB \cdot CD.$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения катетов:

$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot AB.$

Подставляем известные значения:

$S_{\text{прямоугольника}} = 25 \cdot CD, \quad S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 25.$

Так как $CE = r$ и $AE + EB = 9 + 16 = 25$, то мы можем выразить радиус окружности $r$ через полупериметр трапеции:

$r = \frac{AE + EB}{2} = \frac{25}{2}.$

Теперь мы можем записать окончательное уравнение для площади трапеции:

$S_{\text{трапеции}} = 25 \cdot CD + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot 25 = 25 \cdot CD + \frac{625}{4}.$

Мы знаем, что $CD = AB - AE - EB = 25 - 9 - 16 = 0$, так как точка $E$ лежит на $AB$. Поэтому $S_{\text{трапеции}} = \frac{625}{4}$.

Итак, площадь трапеции равна $\frac{625}{4}$ квадратных сантиметров.