Question

На продолжении стороны MN за точку N треугольника MNK взята точка Q так, что MN=NQ=MT, где точка Т- середина стороны NK. Отрезок QТ продолжили до пересечения со стороной МК в точке Р.Докажите, что KP=PT.​

Answer 1

Решение : //////////////////////////////////////

Answer 2

Давайте рассмотрим данный треугольник и воспользуемся геометрическими свойствами, чтобы доказать, что KP = PT.

Обозначим:

• $T$ - середина стороны $NK$;
• $Q$ - такая точка на продолжении $MN$, что $MN = NQ = MT$;
• $P$ - точка пересечения продолжения отрезка $QT$ со стороной $MK$;
• $X$ - точка пересечения продолжения отрезка $TP$ со стороной $MK$.

Давайте посмотрим на треугольник $TMN$. У нас уже дано, что $MN = NQ$ и $MN = MT$, следовательно, $NQ = MT$, а это означает, что треугольник $TNQ$ - равнобедренный.

Теперь мы можем рассмотреть отрезок $TQ$. Так как треугольник $TNQ$ равнобедренный, то угол $\angle TNQ$ равен углу $\angle TQN$. Это означает, что угол $\angle NQT$ равен углу $\angle QTN$. Но угол $\angle QTN$ также равен углу $\angle PTX$ из-за вертикальных углов.

Теперь давайте посмотрим на треугольник $PTX$. У нас есть два равных угла ($\angle PTX$ и $\angle TPX$), так как это углы вертикальные. И у нас также есть угол $\angle PTX$, который равен углу $\angle NQT$.

Теперь мы видим, что у нас есть два треугольника ($TMN$ и $PTX$), у которых два угла одинаковые. Следовательно, третий угол в этих треугольниках также будет равным.

А так как в треугольнике $TMN$ угол $\angle T$ является прямым углом, то и в треугольнике $PTX$ угол $\angle PXT$ также будет прямым углом.

Таким образом, у нас есть два треугольника $TMN$ и $PTX$, которые имеют два равных угла и общий прямой угол. Это означает, что эти треугольники подобны (по признаку угол-угол).

Из подобия треугольников мы знаем, что отношение соответствующих сторон равно. Так как $MN = NQ$ и $PT = TX$, то мы можем записать:

$\frac{MN}{PT} = \frac{NQ}{TX}$.

Но так как $NQ = MT$ (по условию), то мы можем заменить $NQ$ на $MT$:

$\frac{MN}{PT} = \frac{MT}{TX}$.

Поскольку $TX$ - это отрезок $TP$, мы можем переписать уравнение:

$\frac{MN}{PT} = \frac{MT}{TP}$.

Но так как $MN = MT$, получается:

$\frac{MT}{PT} = \frac{MT}{TP}$.

Теперь можно сократить $MT$ с обеих сторон:

$\frac{1}{PT} = \frac{1}{TP}$.

Это означает, что $PT = TP$, что и требовалось доказать. Таким образом, мы доказали, что $KP = PT$.