Question

5. В равнобокой трапеции один из углов равен 120°, диагональ трапеции образует с основанием угол 30°. Найдите основания трапеции, если ее боковая сторонаравна 12 см.​

Answer 1

Ответ:

12 cм  24 cм

Объяснение:

 Дано: ОКМЕ - трапеция, КО=МЕ=12 см;  ∠М=∠К=120°,  ∠КЕО=30°. Найти КМ, ОЕ.

Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, составляет 180°.

∠КМЕ+∠МЕО=180°;  ∠МЕО=180-120=60°

∠КЕМ=60-30=30°;  ΔКМЕ - равнобедренный, КМ=МЕ=12  см

∠МКЕ=180-(120+30)=30°

∠ОКЕ=120-30=90°,  ΔОКЕ - прямоугольный

ОК=1/2 ОЕ  по свойству катета, лежащего против угла 30°.

ОЕ=12*2=24 см

Answer 2

Обозначим основания трапеции как $AB$ (меньшее основание) и $CD$ (большее основание), а боковые стороны как $BC$ и $AD$. Также обозначим точку пересечения диагоналей как $O$.

Известно, что один из углов трапеции $BOC$ равен $120^\circ$, а угол между диагональю $AC$ и большим основанием $CD$ равен $30^\circ$. Следовательно, угол $DOA$ (между диагональю $AC$ и меньшим основанием $AB$) также равен $30^\circ$.

Так как угол $BOC$ равен $120^\circ$, то угол $BOA$ (смежный с $DOA$) равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь у нас есть треугольник $BOA$ с известным углом $60^\circ$ и стороной $BC$ длиной 12 см. Мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны $AB$:

$\frac{AB}{\sin BOA} = \frac{BC}{\sin ABO}$

Подставляя известные значения:

$\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{12}{\sin 30^\circ}$

$\frac{AB}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{1/2}$

$AB = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

Таким образом, меньшее основание $AB$ равно $6\sqrt{3}$ см.

Теперь мы знаем, что $DOA$ и $ABO$ равны $30^\circ$ и $60^\circ$ соответственно, и мы можем найти угол $DOC$ (угол между диагональю $AC$ и большим основанием $CD$):

$\angle DOC = 180^\circ - \angle DOA - \angle ABO = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

Поскольку угол между диагональю $AC$ и $CD$ равен $90^\circ$, то диагональ $AC$ является высотой трапеции, и треугольник $ADC$ прямоугольный. Так как $AC$ это высота, и мы знаем меньшее основание $AB$ и большее основание $CD$, то по определению трапеции можно записать:

$CD - AB = AC$ $CD - 6\sqrt{3} = AC$

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $AB = 6\sqrt{3}$
2. $CD - 6\sqrt{3} = AC$

Для того чтобы решить систему уравнений, нам нужно еще одно уравнение, либо какую-то дополнительную информацию о трапеции. Без этой дополнительной информации мы не сможем однозначно найти значения большего основания $CD$ и высоты $AC$.