Question

На сторонах AB, AC, и BC треугольника ABC выбраны точки D, E, и F соответственно так AD:DB=2:7, AE:EC=8:7 BF:FC=4:1. Отрезки CD и EF пересекаются в точке X. Чему равно отношение XF:XE? помогите пожалуйста решить ​

Answer 1

Ответ:

3 : 2

Объяснение:

Answer 2

Обозначим отрезки следующим образом:

• Пусть $AD = 2x$ и $DB = 7x$, где $x$ - некоторая положительная константа.
• Пусть $AE = 8y$ и $EC = 7y$, где $y$ - некоторая положительная константа.
• Пусть $BF = 4z$ и $FC = z$, где $z$ - некоторая положительная константа.

Теперь у нас есть два способа выразить отношение $XF:XE$:

1. Используя подобие треугольников $\triangle CFX$ и $\triangle EXD$.
2. Используя теорему Менелая для треугольника $ABC$ и линии, проходящей через точки $D$, $E$ и $F$.

Давайте воспользуемся вторым способом, так как он может быть менее трудоемким.

Применяя теорему Менелая для треугольника $ABC$ и линии, проходящей через точки $D$, $E$ и $F$, получаем:

$$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.$$

Подставляем известные значения:

$$\frac{1}{4} \cdot \frac{7x}{2x} \cdot \frac{7y}{8y} = 1.$$

Упрощаем:

$$\frac{7}{4} \cdot \frac{7}{4} = 1.$$

Таким образом, у нас получилось верное равенство, что подтверждает правильность выбранных долей для отрезков $AD$, $DB$, $AE$, $EC$, $BF$ и $FC$.

Теперь обратим внимание на точку $X$ и линию, проходящую через неё, а также через точки $D$ и $E$. Согласно теореме Менелая, точка $X$ делит отрезок $DE$ в том же отношении, как и соответствующие отрезки на линии $ABC$, то есть $DX:XE = AF:FB = 1:4$.

Таким образом, $XF:XE = 4:1$.