Question

Дано точки A(2 ;1), B(-2;5) Складіть рівняння кола, діаметр якого є відрізок AB

Answer 1

Нужно знать:

1) уравнение окружности имеет вид:

    (х - a)² + (y - b)² = R², где (a; b) - центр окружности, R - ее радиус;

2) расстояние между двумя точками А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) находят по

    формуле АВ² = (х₂ - х₁)² + (у₂ - у₁)²;

3) диаметр окружности равен двум радиусам, т.е. D = 2R;

4) координаты середины отрезка: a = (х₁ + х₂)/2, b = (y₁ + y₂)/2.

Поэтому:

D = АВ.

АВ² = (-2 - 2)² + (5 - 1)² = (-4)² + 4² = 16 + 16 = 32, откуда

D = АВ = √32 = 4√2, тогда R = 2√2.

Центр окружности (обозначим О) - середина отрезка АВ.

Найдем координаты центра окружности:

а = (2 + (-2))/2 = 0, b = (1 + 5)/2 = 3.

Составим уравнение окружности:

(х - 0)² + (у - 3)² = (2√2)² или х² + (у - 3)² = 8.

Ответ: х² + (у - 3)² = 8.

Answer 2

Діаметр кола є відрізок AB, тобто довжина діаметра дорівнює відстані між точками A і B.

Довжина відрізка AB може бути знайдена за допомогою формули відстані між двома точками у двовимірному просторі:

$\text{Відстань} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

де $(x_1, y_1)$ - координати точки A, а $(x_2, y_2)$ - координати точки B.

За заданими точками: $A(2, 1)$ і $B(-2, 5)$,

Відстань $d$ між ними буде:

$d = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

Діаметр кола дорівнює довжині відрізка AB, тобто $d = 4\sqrt{2}$.

Радіус кола $r$ дорівнює половині діаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Тепер, коли ми знаємо радіус кола, можемо записати рівняння кола у вигляді:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$

де $(x_0, y_0)$ - координати центру кола. Оскільки середина відрізка AB є центром кола, то можемо взяти середні значення координат точок A і B:

$x_0 = \frac{2 - 2}{2} = 0$ $y_0 = \frac{1 + 5}{2} = 3$

Підставивши значення, отримуємо рівняння кола:

$x^2 + (y - 3)^2 = (2\sqrt{2})^2$ $x^2 + (y - 3)^2 = 8$

Отже, рівняння кола з діаметром AB має вигляд:

$x^2 + (y - 3)^2 = 8$