Question

СРОЧНО! ДАЮ 30 баллов Все рёбра тетраэдра ABCD равны, точка М - редина его высоты DH. Докажите, что углы АМВ; ВМС и СМА равны 90°.

Answer 1

потому что всего 360° так что 360:4=90

Answer 2

Чтобы доказать, что углы АМВ, ВМС и СМА равны 90°, нам понадобится использовать некоторые свойства тетраэдра и высот.

Пусть P, Q и R - середины ребер AB, BC и CA соответственно. Так как точка М является серединой высоты DH, то отрезок AM является медианой треугольника ADC. Таким же образом, отрезки BM и CM являются медианами треугольников BDA и BDC соответственно.

Используя свойство медиан треугольника, мы знаем, что каждая медиана делит соответствующее ей ребро пополам. Следовательно, AM = MD, BM = MD и CM = MD.

Теперь давайте рассмотрим треугольник АМВ. У нас есть AM = MD и BM = MD, следовательно, отрезки AM и BM равны. Так как AM и BM равны и лежат на одной прямой, то AMB является равнобедренным треугольником.

Аналогично, рассмотрим треугольник ВМС. Отрезки BM и CM равны MD, следовательно, отрезки BM и CM также равны. Так как BM и CM равны и лежат на одной прямой, ВМС является равнобедренным треугольником.

Также рассмотрим треугольник СМА. Отрезки CM и AM равны MD, следовательно, отрезки CM и AM также равны. Так как CM и AM равны и лежат на одной прямой, СМА является равнобедренным треугольником.

Таким образом, мы доказали, что углы АМВ, ВМС и СМА равны 90°, поскольку каждый из них является углом в равнобедренном треугольнике, где две стороны равны.