Question

У рівнобічній трапеції висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки 6 см і 30 см. Знайдіть основи трапеції.

Answer 1

Ответ:

24 см и 36 см

Объяснение:

ABCD - равнобедренная трапеция,

ВН и СК - высоты.

АН = 6 см,

HD = 30 см

AD = AH + HD = 6 + 30 = 36 см

НВСК - прямоугольник (все углы прямые), ⇒

НК = ВС.

ΔАВН = ΔDCK по гипотенузе и катету:

• ∠АНВ = ∠DKC = 90°;
• АВ = CD (трапеция равнобедренная);
• ВН = СК (высоты)

АН = KD = 6 см

BC = HK = AD - (AH + KD) = 36 - (6 + 6) = 36 - 12 = 24 см

Answer 2

Позначимо більшу основу трапеції як $BC$ і меншу основу як $AD$. Довжини відрізків, на які поділена більша основа, позначимо як $BE = 6 \, \text{см}$ і $EC = 30 \, \text{см}$.

Оскільки висота трапеції проведена з вершини тупого кута (який лежить на меншій основі $AD$) і ділить більшу основу $BC$ на дві частини $BE$ і $EC$, ми можемо скористатися подібністю трикутників.

Трикутник $AED$ подібний трикутнику $CEB$ згідно пропорції сторін:

$\frac{AE}{CE} = \frac{AD}{BC}$

Підставляючи відомі значення:

$\frac{AE}{30 \, \text{см}} = \frac{AD}{BC}$

Також ми знаємо, що в трикутнику $AED$ висота $AE$ і бічна сторона $AD$ є півпериметром меншої основи $AD$, а в трикутнику $CEB$ висота $BE$ і бічна сторона $BC$ є півпериметром більшої основи $BC$.

Позначимо половину периметра меншої основи як $p_{AD}$ і половину периметра більшої основи як $p_{BC}$. Тоді ми маємо:

$AE = \frac{AD}{2} = p_{AD}$ $BE = \frac{BC}{2} = p_{BC}$

Підставимо це у вираз для подібності трикутників:

$\frac{p_{AD}}{30 \, \text{см}} = \frac{p_{AD}}{BC}$

Виразимо $BC$ через $p_{AD}$:

$BC = \frac{30 \, \text{см} \cdot p_{AD}}{p_{AD}} = 30 \, \text{см}$

Отже, більша основа трапеції $BC$ дорівнює $30 \, \text{см}$, а менша основа $AD$ дорівнює сумі $BE + EC = 6 \, \text{см} + 30 \, \text{см} = 36 \, \text{см}$.