Question

друзья мне очень нужна ваша помощь с геометрией..посмотрите задачку:В прямоугольном треугольнике АВС с острым углом 30 градусов, проведена высота СД из вершины прямого угла С. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольник АСД и треугольник ВСД,если меньший катет треугольника АВС равен 1.

Answer 1

Если соединить центры этих окружностей с основанием высоты, то эти отрезки будут биссектрисами прямых углов, которые высота образует с гипотенузой. Поэтому они перпендикулярны. Поскольку при этом длины касательных от основания высоты к обеим окружностям равны радиусам, то расстояния от него до центров равны величине диагонали квадрата со стороной r1 и r2. Искомое расстояние (в квадрате) отсюда равно (√2*r1)^2 + (√2*r2)^2 = 2*(r1^2 + r2^2);
Для треугольника с катетом 1 и углом в 30° стороны равны 1, √3 и 2. 
Отсюда r = (1 + √3 - 2)/2 = (√3 - 1)/2; это радиус окружности, вписанной в АВС.
Коэффициенты подобия для треугольников равны 1/2 и √3/2 (у одно из треугольников меньший катет - это высота АВС, равная √3/2, а у другого эта высота - больший катет, откуда меньший равен 1/2). поэтому r1 = r/2; r2 = r√3/2; легко видеть, что искомое расстояние d = √2*r (треугольник, образованный отрезками соединяющими центры с основанием высоты и между собой, оказался тоже подобный исходному, то есть в нем гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, равного √2*r1 = √2*r/2; Ответ d = √2*(√3 - 1)/2