Question

Составить уравнение плоскости, расположенной на одинаковых расстояниях от плоскости 5x-3y+z+3=0 и 10x-6y+2z+7=0

Answer 1

Если заданы уравнения параллельных плоскостей Ax + By + Cz + D1 = 0 и Ax + By + Cz + D2 = 0, то расстояние между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

d =   |D2 - D1|        

         √(A² + B² + C²) .

Для этого уравнение второй плоскости надо привести к одинаковым коэффициентам с первой плоскостью.

5x-3y+z+3=0 и 5x-3y+z+3,5=0

d = |3-3.5|/√(25+9+1) = 0.5/√35 ≈ 0,08452.

Одинаковые расстояния от плоскостей 5x-3y+z+3=0 и 5x-3y+z+3,5=0 равны половине найденной величины. Тогда коэффициент D в уравнении срединной плоскости равен:

D = D1 + (0,08452/2)*√35 = 3 + 0,25 = 3,25.

Ответ: 5x-3y+z+3,25=0.

Можно было просто найти среднее значении между D1 и D2 = (3+3,5)/2 = 3,25.

Answer 2

Чтобы найти уравнение плоскости, расположенной на одинаковых расстояниях от двух заданных плоскостей, мы можем воспользоваться следующим методом.

1. Найдем нормальные векторы для данных плоскостей. Для плоскости 5x-3y+z+3=0 нормальный вектор будет (5, -3, 1), а для плоскости 10x-6y+2z+7=0 нормальный вектор будет (10, -6, 2).

2. Выразим расстояние между плоскостями через их нормальные векторы. Расстояние между двумя плоскостями можно найти по формуле:

   d = |(A2, B2, C2) dot (A1, B1, C1)| / sqrt(A1^2 + B1^2 + C1^2),

   где (A1, B1, C1) и (A2, B2, C2) - нормальные векторы плоскостей.

   В нашем случае:

   d = |(10, -6, 2) dot (5, -3, 1)| / sqrt((5^2 + (-3)^2 + 1^2))

3. Теперь у нас есть расстояние d. Мы хотим найти уравнение плоскости, которая находится на одинаковом расстоянии d от обеих заданных плоскостей.

   Уравнение плоскости имеет вид:

   Ax + By + Cz + D = 0.

   Нормальный вектор этой плоскости будет перпендикулярен нормальным векторам двух заданных плоскостей. Поэтому, чтобы найти нормальный вектор новой плоскости, мы можем взять векторное произведение нормальных векторов двух заданных плоскостей:

   (A, B, C) = (A1, B1, C1) x (A2, B2, C2).

   Затем нормализуем полученный вектор, чтобы получить единичный вектор:

   (A, B, C) = (A, B, C) / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

   После этого, чтобы найти D, мы можем использовать одну из заданных плоскостей, подставив ее уравнение и координаты точки (x0, y0, z0), принадлежащей новой плоскости:

   D = -(A * x0 + B * y0 + C * z0).

4. Теперь мы имеем все необходимые компоненты для записи уравнения плоскости, распол