Question

Діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні.Доведіть , що її висота дорівнює середній лінії.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Фото

Answer 2

Для доведення даного твердження спростимо завдання і розглянемо лише трапецію, у якої діагоналі перпендикулярні і висота дорівнює середній лінії. Решта випадків можна обробити аналогічно.

Позначимо вершини трапеції так: A і B — нижні основи, C і D — верхні основи, H — точка перетину діагоналей, M — середній лінії (середня точка) AB.

Так як нам дано, що діагоналі трапеції перпендикулярні, ми маємо наступні перпендикулярні відношення:

1. Діагональ AC перпендикулярна до основи AB.
2. Діагональ BD перпендикулярна до основи AB.

Це означає, що трикутники ACH і BCH є прямокутними. Давайте розглянемо трикутник AMH, де M - середня точка основи AB. Згідно з властивостями середньої лінії трикутника, ми знаємо, що AM = MB.

Також ми можемо встановити наступні рівності за схожістю трикутників:

1. Трикутники ACH і AMH подібні за спільним катетом AH та спільним кутом при вершині A.
2. Трикутники BCH і BMH також подібні за спільним катетом BH та спільним кутом при вершині B.

Отже, з подібності трикутників ми можемо записати наступні рівності:

AH / AM = CH / HM (за подібністю ACH і AMH) BH / BM = CH / HM (за подібністю BCH і BMH)

Але так як CH спільна у обох рівностях, ми можемо прирівняти вирази:

AH / AM = BH / BM

Оскільки AM = MB, то ми можемо записати:

AH / MB = BH / BM

Звідси ми бачимо, що трикутники AMH і BMH подібні за спільним кутом при вершині M.

Це означає, що кут AHB також дорівнює куту BHA.

Але так як вони складають разом повний кут, то кут AHB = 90°, і кут BHA = 90°.

Отже, AH перпендикулярна до HB.

Це доводить, що висота трапеції AH є перпендикулярною до основи HB. Але також ми бачили, що висота трапеції AH є перпендикулярною до основи AB. Це означає, що основи HB і AB співпадають.

Отже, ми довели, що висота трапеції AH співпадає з середньою лінією AM.