Question

2. На плоскости взяты произвольно пяточек: А, В, С, D и F. Докажите равенство: AB+ BC +CD + DF = AD+ DC +CF

Answer 1

Ответ:

AF=AF

Объяснение:

Работаем с векторами, тогда по правилам сложения векторов имеем левую часть:

AB+BC = AC

а CD+DF = CF

соотвественно AC + CF = AF

правая часть:

AD+DC=AC

а AC + CF = AF

получаем что левая часть равна AF, как и правая AF. Значит равенство верное.

Answer 2

Для доказательства данного равенства давайте воспользуемся геометрическими свойствами. Предположим, что у нас есть следующая конфигурация:

cssCopy code
A-----B-----C-----D-----F

Рассмотрим треугольники ABC, BCD и CDF. Для каждого из этих треугольников применим неравенство треугольника:

1. В треугольнике ABC: AB + BC > AC

2. В треугольнике BCD: BC + CD > BD

3. В треугольнике CDF: CD + DF > CF

Теперь сложим все три неравенства:

AB + BC + BC + CD + CD + DF > AC + BD + CF

Упростим:

2(AB + BC + CD + DF) > 2(AD + DC + CF)

AB + BC + CD + DF > AD + DC + CF

Таким образом, мы получили неравенство, которое гласит, что сумма длин отрезков AB, BC, CD и DF больше, чем сумма длин отрезков AD, DC и CF.

Однако мы хотим доказать равенство AB + BC + CD + DF = AD + DC + CF. Для этого докажем обратное неравенство:

AD + DC + CF > AB + BC + CD + DF

Аналогично предыдущему рассуждению, рассмотрим треугольники ACD, CFD и AFB:

1. В треугольнике ACD: AD + DC > AC

2. В треугольнике CFD: CF + FD > CD

3. В треугольнике AFB: AF + FB > AB

Сложим все три неравенства:

AD + DC + CF + FD + AF + FB > AC + CD + AB

AD + DC + CF + FD + AF + FB > AD + DC + AB + CF

FD + FB > 0

Это неравенство всегда верно, так как длины отрезков являются положительными величинами. Таким образом, мы доказали обратное неравенство.

Исходя из обоих доказанных неравенств, мы можем заключить, что:

AB + BC + CD + DF = AD + DC + CF

Что и требовалось доказать.