Question

3. Разность двух углов ромба равна 60°. Меньшая диаго- наль ромба равна 16 см. Найдите периметр ромба.​

Answer 1

Ответ: 64 см

Объяснение: Примем больший угол равным х. Тогда меньший равен х-60°. Сумма углов при одной стороне параллелограмма 180°. Ромб - параллелограмм. Поэтому х+х-60°=180°=>

2х=240°, х=120°. Меньший угол 120°-60°=60°. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Поэтому меньшая диагональ ромба делит его на два треугольника с углами, равными 60°. => Эти треугольники равносторонние. Следовательно, стороны ромба равны меньшей диагонали. Стороны ромба равны.

Р(ромба)=4•16=64 см.

Answer 2

Пусть ABCD - это ромб, где AC и BD - диагонали. По условию известно, что разность двух углов ромба равна 60°, что означает, что один угол ромба равен 120° (180° - 60°).

Мы также знаем, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, и меньшая диагональ AC равна 16 см.

Чтобы найти периметр ромба, нам сначала нужно найти длину его сторон.

Рассмотрим треугольник AOC (половина меньшей диагонали и одна из сторон ромба). Так как диагонали пересекаются под прямым углом, треугольник AOC является прямоугольным треугольником. Мы знаем, что один из углов этого треугольника равен 120°.

Используя тригонометрический синус, мы можем выразить отношение сторон в прямоугольном треугольнике через синус угла: $\sin(120°) = \frac{AC}{OC}.$

Так как $\sin(120°) = \sin(180° - 120°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{OC}.$

Теперь мы можем найти длину стороны OC, которая является половиной диагонали BD ромба (так как BD - диагональ ромба и OC - её половина): $OC = \frac{BD}{2}.$

Подставляя значение меньшей диагонали BD = 16 см, получаем: $OC = \frac{16}{2} = 8 \, \text{см}.$

Теперь, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AOC, где AC = 16 см и OC = 8 см: $AO^2 = AC^2 - OC^2.$ $AO^2 = 16^2 - 8^2.$ $AO^2 = 256 - 64.$ $AO^2 = 192.$ $AO = \sqrt{192} \, \text{см}.$

Так как ромб симметричен, все стороны и углы равны. Следовательно, длина каждой стороны ромба равна AO.

Теперь мы можем найти периметр ромба, умножив длину одной стороны на 4: $P = 4 \times AO = 4 \times \sqrt{192} \, \text{см}.$