Question

Найти разложение вектора а по базису p, q, r . a=(6,12,-1), P=(1,3,0), q=(2,-1,1), r=(0,-1,2) Решение письмено

Answer 1

$a=(6;12;-1),\, P=(1;3;0),\, q=(2;-1;1),\, r=(0;-1;2)$

Запишем разложение в виде:

$a=\alpha \,p+\beta \, q+\gamma\, r$

Коэффициенты $\alpha, \quad \beta, \quad\gamma$ найдём через систему уравнений, где координата "х" вектора "а" равна сумме координат остальных векторов, аналогично поступим с координатой "у" и "z":

$></p> <p><img src=$

Найдём остальные переменные подставив значение $\beta$ в первое и третье уравнение системы:

$\left.\begin{array}{ccc} \alpha +2\beta =6\\\alpha +2\times1=6\\\alpha =6-2\\\alpha =4 \end{array}\\\quad\quad \begin{array}{ccc} \beta +2\gamma=-1\\1+2\gamma=-1\\2\gamma=-2\\\gamma=-1 \end{array}$

Подставим полученные коэффициенты в изначальное разложение. Тогда получим:

$a=4 \,p+ q-\, r$

Ответ: $a=4 \,p+ q-\, r$

Answer 2

Чтобы найти разложение вектора a по базису p, q, r, мы можем воспользоваться коэффициентами Лагранжа. Коэффициенты Лагранжа позволяют нам выразить вектор a как линейную комбинацию базисных векторов p, q, r. Формула для коэффициентов Лагранжа выглядит следующим образом:

Коэффициент Лагранжа для вектора p = (a · p) / (p · p) Коэффициент Лагранжа для вектора q = (a · q) / (q · q) Коэффициент Лагранжа для вектора r = (a · r) / (r · r)

Где · обозначает скалярное произведение векторов.

Давайте вычислим коэффициенты Лагранжа:

1. Для вектора p: Коэффициент Лагранжа для p = (a · p) / (p · p) = ((6, 12, -1) · (1, 3, 0)) / ((1, 3, 0) · (1, 3, 0)) = (6 + 36 + 0) / (1 + 9 + 0) = 42 / 10 = 21/5

2. Для вектора q: Коэффициент Лагранжа для q = (a · q) / (q · q) = ((6, 12, -1) · (2, -1, 1)) / ((2, -1, 1) · (2, -1, 1)) = (12 - 12 - 1) / (4 + 1 + 1) = -1 / 6

3. Для вектора r: Коэффициент Лагранжа для r = (a · r) / (r · r) = ((6, 12, -1) · (0, -1, 2)) / ((0, -1, 2) · (0, -1, 2)) = (-2 - 12 - 2) / (0 + 1 + 4) = -16 / 5

Теперь мы можем выразить вектор a как линейную комбинацию базисных векторов p, q, r:

a = (21/5) * p + (-1/6) * q + (-16/5) * r

Итак, разложение вектора a по базису p, q, r выглядит следующим образом:

a = (21/5) * p - (1/6) * q - (16/5) * r