Question

В правильном тетраэдре ABCD точка M середина ребра CB Найдите угол между прямыми AM и DC

Answer 1

Построим на прямой AB за точку A точку L на расстоянии от A, равном ребру тетраэдра (примем ребро за 1 для удобства). Тогда в треугольнике BCL AM - средняя линия (т.к. BM = MC, BA = AL), т.е. AM || CL.
Т.е. искомый угол (MA ^ DC) = (CL ^ DC) = ∠LCD.
По свойству средней линии CL = 2 * AM. AM - медиана в правильном треугольнике (т.к. тетраэдр правильный). AM = √3 / 2, CL = √3.
∠DAL = 180° - ∠BAD = 120°. В треугольнике DAL по теореме косинусов найдём сторону DL:
DL² = DA² + AL² - 2DA· AL · cos120° = 1 + 1 - 2 · (-cos60°) = 3, DL = √3.
Таким образом, в треугольнике LDC известны 3 стороны и неизвестен угол ∠LCD = α. Найдём его из теоремы косинусов:
DL² = CL² + CD² - 2DC· CL · cosα
3 = 3 + 1 - 2√3 · cosα
cosα = √3 / 6
α = arccos(√3 / 6)