Question

В треугольнике △PRT на стороне PR взяли точку X, а на стороне RT - точку Y так, что ∠PXT = ∠PYT, PY = TX. Докажите, что RX = RY

Answer 1

 Сделаем рисунок и рассмотрим ∆ PRY и  ∆TRX.  Они имеют по два равных угла: ∠RXT=∠RYP как смежные данным по условию равным PXT=PYT, угол R - общий. Поэтому из суммы углов треугольника ∠RTX=∠ RPY.

В треугольниках  ∆ PRY и  ∆TRX  стороны PY = TX (дано), ⇒ они  равны по 2-му признаку равенства треугольников. ⇒

RX = RY, ч.т.д.

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольники △PXT и △PYT. У нас есть следующие данные:

1. ∠PXT = ∠PYT (дано).
2. PY = TX (дано).

Теперь рассмотрим две стороны треугольников:

• Сторона PX у △PXT.
• Сторона PT у △PYT.

Из условия 1 мы знаем, что ∠PXT = ∠PYT, а из условия 2, что PY = TX. Эти два факта говорят нам о том, что треугольники △PXT и △PYT подобны (по углам и сторонам).

Из подобия треугольников мы можем использовать правило пропорциональности сторон. Поскольку соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны, мы можем записать:

PX / PT = PY / PT

Теперь мы видим, что PT находится в обоих числителях, поэтому мы можем сократить его:

PX / PT = PY / PT

PX = PY

Теперь мы видим, что PX = PY, что означает, что стороны RX и RY в треугольнике △PRT равны:

RX = PX + PT = PY + PT = RY

Таким образом, доказано, что RX = RY.