Question

35б. Помогите! Диагонали выпуклого четырѐхугольника ABCD пересекаются в точке P. В треугольники APB, BPC, CPD и APD вписаны окружности с центрами O1, O2, O3 и O4 соответственно. а) Докажите, что прямые O1O3 и O2O4 перпендикулярны. б) Пусть прямая O1O3 пересекает стороны AB и CD в точках M и N соответственно. Найдите отношение площадей треугольников CPN и DPN, если около четырѐхугольника ABCD можно описать окружность и AM : MB = 1 : 2.

Answer 1

a) Центры вписанных окружностей лежат на биссектрисах.

Биссектрисы вертикальных углов составляют прямую.

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

PO1⊥PO2 => O1O3⊥O2O4

б) ∠BAC=∠BDC (вписанные углы), △APB~△DPC (по углам)

Биссектрисы PM и PN являются соответствующими отрезками в подобных треугольниках => делят соответствующие стороны в равном отношении.

DN/NC =AM/MB =1/2

Площади треугольников с равными высотам относятся как основания.

S(CPN)/S(DPN) =NC/DN =2/1

Answer 2

а) Для доказательства, что прямые O1O3 и O2O4 перпендикулярны, воспользуемся свойствами вписанных окружностей и углами между хордами и радиусами окружности.

Поскольку треугольник APB вписан в окружность с центром O1, угол APB равен половине угла AOB, где O - центр окружности ABCD. Аналогично, угол BPC равен половине угла BOC, угол CPD равен половине угла COD и угол APD равен половине угла AOD.

Так как сумма углов в четырёхугольнике ABCD равна 360 градусов, мы имеем:

∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOA = 360 градусов

Известно, что угол вписанный в полуокружность (угол на диаметре) равен 90 градусов. Поэтому:

∠AOB = 2∠APB ∠BOC = 2∠BPC ∠COD = 2∠CPD ∠DOA = 2∠APD

Теперь мы можем переписать наше уравнение:

2∠APB + 2∠BPC + 2∠CPD + 2∠APD = 360 градусов

Упростим:

2(∠APB + ∠BPC + ∠CPD + ∠APD) = 360 градусов

∠APB + ∠BPC + ∠CPD + ∠APD = 180 градусов

Теперь рассмотрим треугольник MNP, где M и N - точки пересечения прямой O1O3 со сторонами AB и CD соответственно, а P - точка пересечения диагоналей ABCD. Из уравнения, которое мы только что получили, следует, что сумма углов, образованных прямой O1O3 с этими сторонами треугольника MNP, также равна 180 градусов.

Следовательно, O1O3 перпендикулярна к сторонам AB и CD в точках M и N.

б) Теперь, когда мы знаем, что O1O3 перпендикулярна к сторонам AB и CD в точках M и N соответственно, мы можем рассмотреть треугольники CPN и DPN.

Поскольку около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, угол CPD равен половине центрального угла COD, который равен половине угла AOB. Таким образом:

∠CPD = ∠AOB / 2

Теперь рассмотрим треугольник APB. По условию, AM : MB = 1 : 2, что означает, что точка M делит сторону AB в отношении 1:2. Таким образом, AM составляет третью часть стороны AB. Это также означает, что BM составляет две трети стороны AB.

Таким образом, угол APB равен углу AMP, так как они соответственно противолежащие стороны равных углов треугольников. Следовательно:

∠APB = ∠AMP

Теперь мы можем рассмотреть треугольник DPN. Угол DPN равен углу DPA, так как они соответственно противолежащие стороны равных углов треугольников:

∠DPN = ∠DPA

Теперь мы видим, что треугольники CPN и DPN имеют равные углы при вершинах P и N (по построению), а также равные углы при вершинах P и M (вышеуказанным равенствам). Следовательно, треугольники CPN и DPN подобны (по углам), и отношение их площадей равно квадрату отношения их сторон.

Так как AM : MB = 1 : 2, то AM/AB = 1/3 и MB/AB = 2/3. Следовательно, отношение сторон CP и DP равно 1/3 и 2/3 соответственно. Таким образом, отношение площадей треугольников CPN и DPN равно квадрату этого отношения:

Площадь(CPN) / Площадь(DPN) = (1/3)^2 / (2/3)^2 = (1/9) / (4/9) = 1/4

Ответ: Площадь треугольника CPN составляет четверть площади треугольника DPN.